przestrzen liniowa i wymiar chair: Sprawdź czy dany zbiór jest przestrzenią liniową. Jeśli tak, to sprawdź wymiar. a)A={M∈M(2;ℛ):M²=M} b)B={ [x] [y] [z] [w] ∈ℛ⁴:x+y+z+w=0} c)C={[α β] [γ δ] ∈M(2;ℛ):α+β=γ+δ} d)D={ax³+bx²+cx+d=W(x):W(x)=W(−x)}

chair: Ktoś ma pomysł jak to rozwiązać ?

Maciess: Tak klasyczne bierzesz dwa elementy i sprawdzasz addytywnośc i jednorodność. Weźmy zróbmy b) ale dla R² bo będzie mniej pisania B = {(x,y)^T ∊ R² : x+y=0}

	u1 u2		v1 v2
Biore wektor u =		i v =		, które należą do B czyli suma ich współrzednych

daje 0. 1) jednorodność

	u1 u2		ku1 ku2
k*u = k *		=

ku₁ +ku₂ =k(u₁+u₂) = k*0 =0. 2) addytywność

	u1 u2		v1 v2		u1 + v1 u2 + v2
u+v =		+		=

(u₁ + v₁) + (u₂ + v₂) = (u₁ + u₂) + (v₁ + v₂) = 0+0 = 0. Czyli mamy liniowość. A wymiar... Intuicyjnie to taki parametr przestrze mówiący ci ile musisz znać parametrów zeby opisac jeden jej element Z równania x+y = 0 mam np x = − y. Tj. znam jedną współrzędna to druga jednoznacznie jest wyznaczona. W oryginalnym przykładzie, wymiar będzie 3, bo znająć 3 współrzędne, musi byc tak dobrana, żeby suma wychodziła zero.

Maciess: a) To nie będzie przestrzeń liniowa. Poszukaj jakiegoś prostego kontrprzykładu (jakie macierze sie najłatwiej potęguje?). Podpowiem ze juz jednoroność się psuje