zadanie baron: Zadanie 7. Korzystając z dekompozycji macierzy pokaż, że jeśli macierz A posiada jednokrotne rzeczywiste wartości własne, a wektory własne związane z różnymi wartościami własnymi są prostopadłe, to macierz A musi być symetryczna.

jc: Niech A będzie macierzą, D macierzą diagonalną, a P macierzą złożoną z wektorów własnych (jeśli wartości własne są różne, to wektory własne utworzą bazę). Mamy (wektory własne ustawiamy w kolejności wartości własnych): AP = PD lub inaczej A=PDP⁻¹ Wektory własne możemy unormować i wtedy P^T=P⁻¹. A=PDP^T A^T = A (wykorzystaj wzór (AB)^T = B^TA^T)

baron: unormowanie jest wtedy gdy dzielimy kazdy element przez jego dlugosc? Czemu wtedy P⁻¹ = P^T? I w jakim sensie wykorzystac (AB)^T = B^TA^T bo znam ta zaleznsoc ale nie wiem gdzie tu uzyc

jc: A^T=(PDP^T)^T=P^TTD^TP^T=PDP^T=A