prosze o pomoc klaster: Zadanie 5. Niech u będzie unormowanym wektorem w Rⁿ tzn. u^T u = 1 Zadajmy symetryczną macierz H ∈ M(n, n) jako H = I − 2uu^T . a) Pokaż, że H² = I. b) Uzasadnij, że H jest ortogonalna. c) Jednym z wektorów własnych macierzy H jest u. Znajdź związaną z nim wartość własną. prosze o pomoc

Adamm: a) H² = I − 4uu^T + 4uu^Tuu^T = I − 4uu^T + 4uu^T = I

Adamm: b) H^T = I^T − 2(uu^T)^T = I − 2uu^T = H Z a) wynika że H² = HH^T = I

Adamm: c) Hu = u − 2uu^Tu = u−2u = −u Wartość własna to −1

klaster: b) I^T − 2(uu^T)^T = I − 2uu^T = H czy moglbys prosze to rozjasnic? Bo nie wiem z czego wynika ze zniknelo Transponowanie i czy macierz jest ortagonalna gdy A⁻¹ = A^T ?

Adamm: ta, macierz jest ortogonalna gdy jej odwrotnąścią jest jej transpozycja

klaster: bo w teorii H^T = I^T − 2(uu^T)^T = I − 2(u^T u) bo jednostkowa to bedzie taka sama ale nie wiem skad ta odwrotna kolejnosc dalej w nawiasie

Adamm: (XY)^T = Y^TX^T oraz (X^T)^T = X, więc zniknęło

klaster: jak sie transponuje iloczyn to sie zmienia kolejnosc?

Adamm: nie no, źle napisałeś w 15:25, ja dobrze napisałem

Adamm: tak, zmienia się kolejność

Adamm: jakbyś napisał u^Tu to zauważ że to nawet nie jest macierz n na n, tylko liczba

Adamm: no wymiary się nawet nie będą zgadzać może udowodnij sobie dlaczego kolejność się zmienia w mnożeniu macierzy

klaster: dobrze dziekuje a skoro macierz jest ortagonalna gdy H⁻¹ = H^T i doszlismy do tego ze w b) ze H^T = H ale czy nie trzeba pokazywac ze to rowna sie H⁻¹ ? Czy to juz jakos wynika?

Adamm: Nie no, napisałem dlaczego H^TH = I, a drugiej strony nie trzeba sprawdzać

klaster: bo niestety nie bardzo widze skad wynika ze H⁻¹ = H^T jesli mamy tylko H² = HH^T = I i H^T = H

Adamm: no ja już wytłumaczyłem więc musisz sobie samemu to wytłumaczyć żeby zrozumieć

Adamm: jakbyś mi coś konkretnego napisał, co i jak niejasne, to mogę wytłumaczyć no ale tak to nie

klaster: bo nie wiem z czego wynika ze ta macierz jest H^T jest rowna swojemu odwroceniu bo to ze H jest rowna swojej transpozycji rozumiem

Adamm: Odwrotność macierzy kwadratowej A to taka macierz kwadratowa A⁻¹, tego samego wymiaru, że A⁻¹A = AA⁻¹ = I, i ta odwrotność jest tylko jedna. Skoro H^TH = HH^T = I, to z definicji H⁻¹ = H^T. No ale tylko jedna z tych równości jest potrzebna (np. jeśli AB = I i A, B są kwadratowe, to det(A)det(B) = 1 więc det(A) ≠ 0, więc A jest odwracalna. Mnożąc obie strony przez A⁻¹ mamy B = A⁻¹)

klaster: dzieki juz wiem. a mam ostatnie pytanie bo w c rozumiem algebraicznie obliczenia jaki jest zamysl mnozenia tej macierzy razy jej wektor wlasny? Bo wiem ze jak byla macierz wartoscia wlasna byla ta liczba ktora byla pierwiastkiem jej wielomianu charakterystycznego, i potem te wartosci wlasne przemnozone przez macierz jednostkowa odejmowalo sie od macierzy i z tego powstawaly te wektory wlasne

Adamm: definicja jest taka u jest wektorem własnym z wartością własną α dla macierzy A, jeśli u jest niezerowy i Au = αu To że istnieje metoda liczenia jakie są wartości własne (ale niekoniecznie wektory własne) macierzy A, to jest inna sprawa

Adamm: tutaj oczywiście u nie jest zerowy więc wszystko jest okej

klaster: Dzieki czyli po prostu z definicji

klaster: a moglbys jeszcze podpowiedziec czym jest ortonormalnosc? Bo pamietam ten termin podawany obok orotgalnosci a umiesz fajnie jasno tlumaczyc

Adamm: Jak masz jakiś zbiór wektorów e₁, e₂, ..., e_m to one są ortonormalne jeśli są długości 1 i są do siebie ortogonalne, czyli <e_i, e_j> = 0 dla i ≠ j Macierz A jest ortonormalna jeśli odpowiada pewnej bazie ortonormalnej, to znaczy jeśli z bazy standardowej (1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1) przenosimy się na jakąś bazę e₁, ..., e_n wektorów ortonormalnych wtedy A jest macierzą przejścia z jednej bazy do drugiej, innymi słowy, opisuje jak zapisać wektor napisany w pierwszej bazie za pomocą drugiej, i na odwrót

Adamm: Można myśleć o tych macierzach jako opisujących obroty i odbicia przestrzeni n wymiarowej względem środka układu współrzędnych

Adamm: chodzi tu o zmienę układu współrzędnych

klaster: dzieki

Adamm: <e_i, e_j> = e_i^Te_j więc sam/sama widzisz czemu tu wyskakuje transpozycja przy macierzy A