wykaz ze ortagonalnosc ja: wykaz ze dla dowolnych x,y ∊ Rⁿ , n∊N zachodza zaleznosci a) a x⊥y ⇔ ∥x+y∥² = ∥x∥² + ∥y∥² b) (x+y)⊥(x−y) ⇔ ∥x∥ = ∥y∥ czy moze ktos podpowiedziec jak to uzasadnic? Czy pitagoras tu wchodzi w gre czy to zbyt trywialne w algebrze?

chichi: do (a) wystarczy Ci wzór skróconego mnożenia i znajomość teorii

ja: ∥x² + 2xy + y²∥ = ∥x² + y²∥ bo xy=0?

ja: ale czy ∥x² + y²∥ = ∥x²∥ + ∥y²∥

chichi: ale czy ty wiesz co robisz..? ||x + y||² = ⟨x+y,x+y⟩ = ⟨x,x⟩ + ⟨x,y⟩ + ⟨y,x⟩ + ⟨y,y⟩ = ||x||² + 2⟨x,y⟩ + ||y||²

ja: a po to bylo przeciez to mnozenie.. a w b z czego mozna skorzystac?

ja: racja moja wina bo dawno nie mnozylem wektorow

Maciess: W b) identycznie, rozpisujesz iloczyn skalarny na składowe i korzystasz z tego, że norma jest indukowana przez iloczyn skalarny. To, że wektory (x−y) i (x+y) są prostopadłe, mówi nam, ze ich iloczyn skalarny jest równy 0. <x−y, x+y> = 0 (1) Rozpiszmy ten iloczyn skalarny i skorzystajmy z jego własności (2−liniowość) <x−y, x+y> = <x,x> − <x,y> + <y,x> − <y,y> = <x,y> − <x,y> + <x,y> − <y,y> = <x,x> − <y,y> Zatem <x,x> − <y,y> = 0 czyli <x,x> = <y,y> ||x||² = ||y||².

ja: a to ze ||x||² = ||y||². to dobrze mysle ze juz w pelni jest to samo co ||x|| = ||y||

ja: czy naley to jeszcze jakos przeksztalcic