Macierz Student: Pokaż że jeśli a jest macierzą markowa to α=1 jest wartością własną macierzy

Fałszywy 6-latek: to ma być macierz markowa , czyli firmy np. Toyota, czy też macierz Markowa , tego od łańcuchów?

Student: Łańcuchów wiem że suma kolumny→ = 1

chichi: no to ciągnij dalej... podpowiedź: spójrz na kolumny, a następnie wiersze macierzy A − I

meksykanin: no wlasnie probowalem ale nie moge wpasc na ten pomysl jak zawsze z dowodami

meksyk student: no bo zeby znac wartosc wlasna musialbym policzyc ten wielomian charakterystyczny i pierwiastki miec ktore sa tymi wlasnosciami

meksyk student: [A − α A A ] [A A−α A ] [A A A−α ] A + A + A −α = 1

chichi: no skoro masz sume kolumny równa 1, to dla A − I da nam sume w kolumnie rowna 0, co oznacza, ze suma wierszy daje 0 − są liniowo zależne, czyli ta macierz jest osobliwa, no to ma zerowy wyznacznik... no to wniosek jest natychmiastowy

meksyk student: skad wiemy ze A− I da nam w kolumnie sume 0?

chichi: bo 1 − 1 = 0, chyba ameryki nie odkryłem...

meksyk student: no ale przeciez mamy udowodnic ze to jest α=1 mozesz to jakos rozpisac twoj tok rozumownaia?

chichi: ty wiesz jak wyglada macierz jednostkowa i jak sie odejmuje macierze

meksyk student: [A A A ] [A A A ] − I = [A A A] [A − 1 A A ] [A A−1 A ] [A A A−1 ] A−1 + A + A = 1

meksyk student: aa czyli moge zapisac ze jesli mam sume w kolumnie rowna 1 i odejme macierz jednostkowa pomnozona przez α=1 w kazdej kolumnie odejmie sie o 1 czyli bedzie w kazdej kolumnie 0

chichi: ale czemu ty mi tu teraz chlopie z tą alpha wyjezdzasz...

meksyk student: w sensie czemu α * I?

chichi: no dobra, czekam na dalsze rozumowanie, bo do tego, ze α = 1, to jeszcze kawalek, ale ty nawet nie rozumiesz co sie tutaj dzieje, jaki masz podręcznik?

meksyk student: no bo ja rozumialem tak ze mam macierz odejmuje I*α (macierz jednostkowa razy α z tej macierzy licze wyznacznik wychodzi mi funkcja f(α) i pierwiastki to wartosci wlasne

meksyk student: i myslalem ze chodzi ci ze skoro suma w kolumnie daje 1 i odejmiemy od macierzy macierz jednostkowa pomnozona razy α=1 to wtedy od kazdej kolumny odejmie sie jeden wiec suma w kolumnach bedzie musiala rownac sie 0 jak rowniez i w wierszach co stworzy ta zaleznosc miedzy nimi i det = 0

chichi: ale ty teraz przepisales to co ja napisałem, a pytasz dlaczego suma kolumny macierzy A − I wynosi 0. napisalem Ci tez z czego plynie wniosek, wiec dokończ to z wyznacznikiem...

meksyk student: ale dobrze rozumiem ze sprawdzamy w ten sposób podstawiając α=1 i 1 * I ?

meksyk student: no wyznacznik macierzy tworzy ten wielomian charakterystyczny wiec jesli det = 0 to znaczy ze ta liczba byla jedna z wartosci wlasnych bo wyzerowala ten wielomian

chichi: nie podstawiam α = 1, po prostu wpadam na pomysł, ze skoro tamta suma rowna 1, to po odjęciu jednostkowej mam 0. dopiero dalsze wnioski z wyznacznika mowia, ze α = 1

meksyk student: czyli mozna zapisac ze macierz A [ a_1,1 .... a_{1, n} ] [ ... ] [ ... ] [a_m,1 a_{m, n} ] ktora jest macierza markowa wiec suma w kolumnie rowna sie jeden A − I co oznacza ze od kazdej kolumny bedzie odjeta liczba 1 co spowoduje iz suma w kolumnach bedzie wynosic 0 co spowoduje iz suma wierszy bedzie wynosic zero co pokazuje wystepowanie liniowej zaleznosci ktora mowi nam o tym ze wyznacznik tej macierzy jest rowny 0 co oznacza iz wartoscia wlasna macierzy A jest liczba 1

meksyk student: czy tak czy jeszcze cos nalezaloby dodac / inaczej zapisac?

meksyk student: bo czy trzeba uzasadniac czemu suma wierszy wszystkich bedzie rowna 0?