dane jest rownanie
maks: Dane jest równanie
(x + 3)(x2+ m2 −2m − 8) = 0
z niewiadomą x i parametrem m ∊ R.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania
rzeczywiste, które tworzą ciąg arytmetyczny.
8 sty 20:56
wredulus_pospolitus:
podam taki sposób podejścia do tematu:
zapiszmy: W(x) = (x+3)(x2 + m2 − 2m − 8)
więc mamy trzy możliwości (dla r > 0), aby rozwiązania naszego równania tworzyły ciąg
arytmetyczny:
1. W(x) = (x+3 − r)(x+3)(x+3 +r)
2. W(x) = (x+3 − 2r)(x+3 − r)(x+3)
3, W(x) = (x+3)(x+3+r)(x+3+2r)
weźmy pierwszy przypadek i wymnóżmy dwa nawiasy zawierające 'r':
1. W(x) = (x+3)[ (x+3)2 − r2] = (x+3)( x2 + 6x + 9−r2 )
niemożliwe do spełnienia (bo w wyjściowej postaci wielomianu nie ma w tym nawiasie czynnika z
'x'
weźmy drugi przypadek
2. W(x) = (x+3)(x2 + 6x − 3rx + 9 −9r + 2r2)
teraz widzimy, że musi zajść: 6x − 3rx = 0 −−−> 3r = 6 −−−> r = 2
więc nasz W(x) = (x+3)(x2 −1) −−−> więc m2 − 2m − 8 = −1 −−> m2 − 2m − 7 = 0
Δ ... i wyznaczasz 'm'.
weźmy trzeci przypadek
3. W(x) = (x+3)(x2 + 6x + 3rx + 9 +9r + 2r2)
teraz widzimy, że musi zajść: 6x + 3rx = 0 −−−> 3r = 6 −−−. r = −2 ale przyjęliśmy, że
r>0, więc przypadek bez rozwiązania.
8 sty 22:43
maks: czemu przyjęliśmy r>0? co jak nie przyjmiemy
8 sty 23:46
wredulus_pospolitus:
jak nie przyjmiemy r>0 to (2) i (3) przypadek oznaczają to samo
![](emots/2/wykrzyknik.gif)
zauważ, że dla r<0 przypadek (2) reprezentuje dokładnie to samo co dla (r>0) przypadek (3).
I na odwrót (oczywiście).
9 sty 00:12
wredulus_pospolitus:
więc albo dwa przypadki bez założenia r>0 (tylko r≠0
![](emots/2/wykrzyknik.gif)
).
albo 3 przypadki przy założeniu r>0.
9 sty 00:13
Eta:
![rysunek](rys/159015.png)
Można też tak:
x
1= −3 równanie x
2+m
2−2m−8=0 ma dwa rozwiązania różnych znaków
gdy m
2−2m−8 <0 ⇒m∊(−2,4)
i są nimi −x
2 i x
2 (położone symetrycznie względem osi Oy
aby wszystkie trzy tworzyły ciąg arytmetyczny
to −3,−x
2,x
2 ⇒ x
2=1 i f(−3)≠0 ⇒m≠ 1 ( bo nie mogą być −3,−3,3
zatem −3,−1,1 −− tworzą ciąg arytm r= 2
więc m
2−2m−8 = −1 ( bo x
2−1=0 ⇒ x=−1 v x= 1
dlaΔm= 32
Odp: m= 1−2
√2 v m= 1+2
√2 bo ( obydwa m∊(−2,4)\{1}
========================
9 sty 00:17
Eta:
i jeszcze 2 przypadek −x2, −3, x2 −−− c.arytm
daje sprzeczność −6=0
9 sty 00:25
wredulus_pospolitus:
@Eta ... w tym rozwiązaniu brakuje mi wyjaśnienia (którego raczej uczeń nie będzie w stanie
samemu napisać −−− więc będzie jasne dla nauczyciela, że nie on rozwiązał to zadanie) skąd
wiemy, że pozostałe dwa rozwiązania MUSZĄ być symetryczne względem osi OY.
A to też jest konieczne, aby w konsekwencji przejść do tego, że pozostałe rozwiązania będą w
zbiorze liczb całkowitych (a to także nie jest tak oczywiste dla ucznia)
9 sty 00:30
Eta:
Równanie x
2+c=0
jest sprzeczne dla c>0
ma dwa rozwiązania x
1= −
√c,
√c dla c<0
a takiej postaci jest w tym zadaniu równanie
x
2+m
2−2m−8=0 c= m
2−2m−8
Nie wiem,co tu nie jest jasne
9 sty 00:33
wredulus_pospolitus:
@Etuś ... mam nadzieję, że nie bierzesz tego za czepianie się ... po prostu Ty to wiesz ... ja
to wiem ... ale uczeń ... eeeee, niekoniecznie
9 sty 00:56
Jolanta: (x+3=0
x=−3
sprawdzam czy nastepny wyraz ciągu jest mniejszy czy większy od −3
podstawiam −3
(−3)2+m2−2m−8=0
m2−2m+1=0
Δm=4−4=0
dla x=−4 (−4)2+m2−2m−8=0
m2−2m+8=0
Δm=4−32=−28
Δm<0 brak pierwiastków
x=−3 jest mniejsze od nastepnego wyrazu r>0
−3, −3+r ,−3+2r wyrazy ciagu arytmetycznego
(−3+r)2+m2−2m−8=0
(−3+2r2+m2−2m8=0
9 sty 10:59
Jolanta: (−3+r)
2+m
2−2m−8=0
(−3+2r)
2+m
2−2m−8=0
9−6r+r
2+m
2−2m−8=0
9−12r+m
2−2m−8=0
m
2−2m+r
2−6r+1=0 \(−1)
m
2−2m+4r
2−12r+1=0
−m
2+2m−r
2+6r−1=0
m
2−2m+4r
2−12r+1=0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
3r
2−6r=0
3r(r−2)=0
r≠0 r=2
−3+2=−1 −1+2=1
dla x=−1 i x=1 x
2=1
1+m
2−2m−8=0
m
2−2m−7=0
Δ
m=32
m
2=1+2p{2]
9 sty 11:14