wartosci wlasne perro: 0 0 2 0 2 0 2 0 0 wyznacz wartosci i wektory wlasne dla macierzy −x 0 2 0 2−x 0 2 0 −x det (2−x) *I −x 2 I = 2x² − 8 − x³ + 4x I 2 −x I x = −2 x = 2 z czego jest to pierwiastek 2 stopnia czemu to sprawia ze beda 3 rozwiazania? bo chcialem 0 0 2 x₁ [ x₁ ] 0 2 0 * x₂ = 2 [ x₂ ] 2 0 0 x₃ [ x₃ ] 0 0 2 x₁ [ x₁ ] 0 2 0 * x₂ = −2 [ x₂ ] 2 0 0 x₃ [ x₃ ] ale widze w kalkulatorach online ze oni licza dla 2 dwa razy i wychodza im 2 rozne wyniki z czego to wynika? Jak to uczynic?

. : 1. Tragicznie liczysz wyznacznik macierzy. 2. Po cholere wymnazasz skoro później musisz znowu na postać iloczynowa zamienić? 3. Jeżeli masz wielomian 3 stopnia i są dwa pierwiastki rzeczywiste, to trzeci także będzie rzeczywisty. Bo masz: (x−a)(x−b)(x−c), skoro a i b są rzeczywiste, no to C także musi być rzeczywisty.

perro: no tak ale mi chodzi jak to policzyc skoro jak podstawiam tam 2 to wyjdzie mi jeden wynik a ma wyjsc takie cos v=({{−1}, {0}, {1}}), wartość własna λ₁=−2 v=({{0}, {1}, {0}}), wartość własna λ₂=2 v=({{1}, {0}, {1}}), wartość własna λ₂=2

perro: i czemu tragicznie wyznacznik?

wredulus_pospolitus:

	⎧	−x 0 2
det	⎨	0 2−x 0	=
	⎩	2 0 −x

	⎧	−x 2
= (2−x)*det(	⎩	2 −x	) =

= (2−x)*(x²−4) = −(x−2)(x−2)(x+2) <−−−− dlatego Masz postać iloczynową Więc po kiego grzyba wymnażać te nawiasy, aby później znowu je tworzyć Po co sobie robić dodatkową robotę

perro: no tak ja rozumiem ale przeciez ja nie pytam jak sie wyznacza pierwiastki z rownania tylko dlaczego szukajac wektorow wlasnych dla x = 2 sa dwie wartosci ktore od siebie roznia. Bo rozumiem ze sa dwie bo jest (x−2)² ale czy moglby ktos wytlumaczyc jak dojsc do 2 roznych wynikow dla tej wartosci wlasnej? Bo tak jak pokazywalem jak robie w 1 wpisie jak dam 2 przed nawias to wyjda oba takie same dla dwójek.

jc: dla k=−2 masz jednowymiarową przestrzeń rozwiązań dla k=−2 masz dwuwymiarową przestrzeń rozwiązań wektory (1,0,1), (0,1,0) tworzą bazę tej przestrzeni mógłbyś wybrać inną bazę, np. (1,1,1), (1,−1,1). układ równań dla k=2 −2x+2z=0 0=0 2x−2z=0 czyli faktycznie x=z co oznacza, że y jest dowolne, x też możesz wybrać dowolnie, ale z=x (x,y,z) = x(1,0,1) + y(0,1,0)

perro: Ale czy de facto czy jest potrzeba pisania dwóch takich rozwiązań dla jeden wartości skoro są to w sumie te same wartości tylko inaczej zapisane?