Wielomiany
QiPa:
Wyznacz jeśli istnieje najmniejsza wartość wielomianu
W(x)= x(x+1)(x+2)(x+3
W(x)= x4+6x3+11x2+6x
W(x)=x(x3+6x2+11x+6)
I tu zonk
23 gru 17:15
wredulus_pospolitus:
a po kiego grzyba to robisz
23 gru 17:28
wredulus_pospolitus:
1. Funkcja wielomianowa: f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) jest symetryczna względem prostej x = −1.5
2. Funkcja ta będzie przyjmować wartość najmniejszą w DWÓCH PUNKTACH
23 gru 17:30
wredulus_pospolitus:
jako, że jestem leniem i nie lubię się przepracowywać, to robię podstawienie:
v = x + 1.5
wtedy f(v) = (v−1.5)(v−0.5)(v+0.5)(v+1.5) = (v
2 − 2.25)(v
2− 0.25) =
| 5 | | 9 | | 5 | | 9 − 25 | | 5 | |
= v4 − |
| v2 + |
| = (v2 − |
| )2 + |
| = (v2 − |
| )2 − 1 |
| 2 | | 16 | | 4 | | 16 | | 4 | |
najmniejszą wartością wielomianu W(x) jest wartość −1.
23 gru 17:37
wredulus_pospolitus:
A jak 'standardowo' to zrobić
![](emots/2/pytajnik.gif)
tworzysz funkcję wielomianową f(x) ... liczysz pochodną ...
niestety masz x
3 ... i się wijesz aby znaleźć jeden z pierwiastków (łatwy do zauważenia
będzie x = −1.5 co pokrywa się z osią symetrii
![](emots/2/wykrzyknik.gif)
)
23 gru 17:39
wredulus_pospolitus:
tyle że tam musisz wtedy wyznaczyć pozostałe dwa pierwiastki (nie są super brzydkie ale też nie
są super ładne) i podstawić do wzoru wielomianu aby wyznaczyć wartość wielomianu w tych
punktach.
O wiele więcej zabawy i o wiele większa szansa, że coś się 'spierniczy'.
23 gru 17:41
QiPa: Dzięki wredulus
23 gru 17:59
QiPa:
Jesli pozwolisz to wróce do tego póżniej bo troche sie opisałes a ja miałem inne sprawy do
zrobienia.
Więc na razie przeprosze .
23 gru 18:09
QiPa:
OK.
Na początek mam takie pytanie .
Zrobilem wykres tej funkcji (w programie i rzeczywiscie jest tak ze x=−1,5 )
Czy mozna to odczytac bez wykresu i ewentualnie jak to zrobić praktycznie ?
Mam jeszcze kilka takich zadań gdzie praktycznie bedzie to samo polecenie.
Tutaj w odpowiedzie mam tak
x(x+1)(x+2)(x+3)= (x2+3x)(x2+3x+2) i zrobic podstawienie x2+3x=t
Mógłbys napisac jak dojśc do tego ?
24 gru 12:36
ABC:
albo zobaczysz taki trick i zapamiętasz albo wpadniesz sam na mocy analogii wzorów skróconego
mnożenia
24 gru 13:46
QiPa:
Przed pójściem na kolacje zauważyłem to
Pierwszy pomnożony przez czwarty i drugi pomnozony przez trzeci
24 gru 16:51
wredulus_pospolitus:
1. co do symetryczności funkcji wielomianowej:
a) mamy podaną postać iloczynową która mocno ułatwia nam sprawę.
| 0 + (−3) | |
Biorę 'skrajne' miejsca zerowe i liczbę ich średnią arytmetyczną: |
| = −1.5 |
| 2 | |
| (−1) + (−2) | |
Teraz biorę 'środkowe' miejsca zerowe i robię to samo: |
| = −1.5 |
| 2 | |
w obu przypadkach wychodzi dokładnie to samo ... ergo −−− funkcja jest symetryczna względem x =
−1.5
Czy jest to wystarczające, aby stwierdzić, że funkcja będzie symetryczna ... szczerze mówiąc to
nie wiem ... na pewno można stworzyć sobie taki wykres funkcji, aby to nie zachodziło ... ale
wtedy nie będzie to (zapewne) funkcja wielomianowa.
24 gru 17:02
wredulus_pospolitus:
2. co do ich podpowiedzi ... jako że (znowuż) jestem leniem ... to gdybym miał taką postać
iloczynową to bym robił podstawienie: x
2 + 3x
+1 = t
wtedy otrzymamy f(t) = (t−1)(t+1) = t
2 − 1 i od razu mamy wartość minimalną
24 gru 17:04
wredulus_pospolitus:
jeszcze wracając do symetryczności −−−− można by było się trochę pochylić nad tym, aby
udowodnić to, że ta funkcja jest symetryczna względem x = −1.5 i nie jest to aż tak trudne,
pytanie tylko czy jest to konieczne.
a sam dowód:
wykażemy, że
| x1+x2 | |
∀x1 ∊ R ∃x2 ∊ R |
| = −1.5 ⇒ f(x1) = f(x2) |
| 2 | |
f(x
1) = x
1(x
1+1)(x
1+2)(x
1+3) = //podstawiamy x
1 = −3 −x
2 // =
= (−3−x
2)(−3−x
2 +1)(−3−x
2 + 2)(−3−x
2 + 3) = (x
2+3)(x
2+2)(x
2+1)x
2 = f(x
2)
co kończy dowód.
24 gru 17:11