Wielomiany QiPa: Wyznacz jeśli istnieje najmniejsza wartość wielomianu W(x)= x(x+1)(x+2)(x+3 W(x)= x⁴+6x³+11x²+6x W(x)=x(x³+6x²+11x+6) I tu zonk

wredulus_pospolitus: a po kiego grzyba to robisz

wredulus_pospolitus: 1. Funkcja wielomianowa: f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) jest symetryczna względem prostej x = −1.5 2. Funkcja ta będzie przyjmować wartość najmniejszą w DWÓCH PUNKTACH

wredulus_pospolitus: jako, że jestem leniem i nie lubię się przepracowywać, to robię podstawienie: v = x + 1.5 wtedy f(v) = (v−1.5)(v−0.5)(v+0.5)(v+1.5) = (v² − 2.25)(v²− 0.25) =

	5		9		5		9 − 25		5
= v4 −		v2 +		= (v2 −		)2 +		= (v2 −		)2 − 1
	2		16		4		16		4

najmniejszą wartością wielomianu W(x) jest wartość −1.

wredulus_pospolitus: A jak 'standardowo' to zrobić tworzysz funkcję wielomianową f(x) ... liczysz pochodną ... niestety masz x³ ... i się wijesz aby znaleźć jeden z pierwiastków (łatwy do zauważenia będzie x = −1.5 co pokrywa się z osią symetrii )

wredulus_pospolitus: tyle że tam musisz wtedy wyznaczyć pozostałe dwa pierwiastki (nie są super brzydkie ale też nie są super ładne) i podstawić do wzoru wielomianu aby wyznaczyć wartość wielomianu w tych punktach. O wiele więcej zabawy i o wiele większa szansa, że coś się 'spierniczy'.

QiPa: Dzięki wredulus

QiPa: Jesli pozwolisz to wróce do tego póżniej bo troche sie opisałes a ja miałem inne sprawy do zrobienia. Więc na razie przeprosze .

QiPa: OK. Na początek mam takie pytanie . Zrobilem wykres tej funkcji (w programie i rzeczywiscie jest tak ze x=−1,5 ) Czy mozna to odczytac bez wykresu i ewentualnie jak to zrobić praktycznie ? Mam jeszcze kilka takich zadań gdzie praktycznie bedzie to samo polecenie. Tutaj w odpowiedzie mam tak x(x+1)(x+2)(x+3)= (x²+3x)(x²+3x+2) i zrobic podstawienie x²+3x=t Mógłbys napisac jak dojśc do tego ?

ABC: albo zobaczysz taki trick i zapamiętasz albo wpadniesz sam na mocy analogii wzorów skróconego mnożenia

QiPa: Przed pójściem na kolacje zauważyłem to Pierwszy pomnożony przez czwarty i drugi pomnozony przez trzeci

wredulus_pospolitus: 1. co do symetryczności funkcji wielomianowej: a) mamy podaną postać iloczynową która mocno ułatwia nam sprawę.

	0 + (−3)
Biorę 'skrajne' miejsca zerowe i liczbę ich średnią arytmetyczną:		= −1.5
	2

	(−1) + (−2)
Teraz biorę 'środkowe' miejsca zerowe i robię to samo:		= −1.5
	2

w obu przypadkach wychodzi dokładnie to samo ... ergo −−− funkcja jest symetryczna względem x = −1.5 Czy jest to wystarczające, aby stwierdzić, że funkcja będzie symetryczna ... szczerze mówiąc to nie wiem ... na pewno można stworzyć sobie taki wykres funkcji, aby to nie zachodziło ... ale wtedy nie będzie to (zapewne) funkcja wielomianowa.

wredulus_pospolitus: 2. co do ich podpowiedzi ... jako że (znowuż) jestem leniem ... to gdybym miał taką postać iloczynową to bym robił podstawienie: x² + 3x +1 = t wtedy otrzymamy f(t) = (t−1)(t+1) = t² − 1 i od razu mamy wartość minimalną

wredulus_pospolitus: jeszcze wracając do symetryczności −−−− można by było się trochę pochylić nad tym, aby udowodnić to, że ta funkcja jest symetryczna względem x = −1.5 i nie jest to aż tak trudne, pytanie tylko czy jest to konieczne. a sam dowód: wykażemy, że

	x1+x2
∀x1 ∊ R ∃x2 ∊ R		= −1.5 ⇒ f(x1) = f(x2)
	2

f(x₁) = x₁(x₁+1)(x₁+2)(x₁+3) = //podstawiamy x₁ = −3 −x₂ // = = (−3−x₂)(−3−x₂ +1)(−3−x₂ + 2)(−3−x₂ + 3) = (x₂+3)(x₂+2)(x₂+1)x₂ = f(x₂) co kończy dowód.