Rozwiiń funkcję w szereg Mariusz:

	1
f(t) =
	√1−2xt+t2

Po dwukrotnym zastosowaniu dwumianu Newtona dostaję

1		2n n	n k	(−1)k
	= ∑n=0∞∑k=0n				xn−ktn+k
√1−2xt+t2				2n+k

Jak przejść z

1		2n n	n k	(−1)k
	= ∑n=0∞∑k=0n				xn−ktn+k
√1−2xt+t2				2n+k

do

1
	=
√1−2xt+t2

	2m−2k m−k	m−k k	(−1)k
∑m=0∞∑k=0floor(m/2)				xm−2ktm
			2m

b.: to jest zamiana zmiennych: podstawiamy m = n+k k = k i wtedy m>=0, a k zmienia się od 0 do m, ale k<=n, więc musi być k <= [m/2] Trzeba by się przekonać, że każdej parze liczb (n, k) takich, że 0<=k<=n odpowiada jedna para liczb (m, k) = (n−k, k) o takich własnościach jw. i na odwrót (można sobie zrobić rysunek jak dla zamiany zmiennej w całce)

b.: Jeśli chodzi o założenia, to można tak zrobić, gdy szereg jest bezwzględnie zbieżny

Mariusz: Tę funkcję dostałem rozwiązując równanie rekurencyjne na wielomiany Legendre I właśnie tak zrobiłem że przyjąłem m = n+k tylko miałem wątpliwości co to poprawności tej zamiany zmiennych

Mariusz: A właśnie mógłbyś dokładniej rozpisać jak ustalić granice po tej zamianie zmiennych bo ja próbowałem najpierw bawić się nierównościami Przyjąłem że m = n+k i wtedy zauważyłem że skoro przyjąłem m = n+k to m ≥ 0 i aby ustalić przedział dla k próbowałem bawić się nierównościami 0 ≤ k ≤ n 0 ≤ k ≤ m−k ale po dodaniu stronami k do nierówności dostałem k ≤ 2k ≤ m więc coś chyba nie tak ale zauważyłem że gdy k ≥ floor(m/2) to zaczniemy sumować zera Jak widać trochę zgadywałem zmieniając zmienne no i trochę też zwątpiłem w poprawność takiej zamiany zmiennych