Wartości parametru m dla x^3 - mx + 2 = 0 które ma 3 rozwiązania Ciurek: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x³ − mx + 2 = 0 ma trzy rozwiązania.

ABC: miałeś pochodne?

6latek: A można to zadanie zrobic z warunku na deltę ? Δ≤0

	4p3
q2+		≤0
	27

jc: Zadanie lata temu pojawiło się na forum. Zanotowałem wtedy takie rozwiązanie: Suma pierwiastków = 0, iloczyn pierwiastków = −2. Niech więc pierwiastkami będą liczby: a, b, −a−b (a >0, b>0, a=/=b) Wtedy f(x)=x³ − mx + 2 = (x−a)(x−b)(x+a+b) = x³ − (a² + b² + ab) x + ab(a + b) Stąd a²+b²+ab = m, ab(a+b)=2. Ale (a+b)/2 > (ab)⁽1/2) i dlatego 2 = ab(a+b) > 2 (ab)⁽3/2). Dlatego ab < 1 i a+b > 2. Teraz m = (a+b)² − ab > 4 − 1 = 3. Wynika stąd, że warunkiem koniecznym jest nierówność m > 3. Jest to również warunek wystarczający: f(0) = 2 > 0, f(1) = 3 − m < 0. Zatem pomiędzy 0 i 1 leży jeden pierwiastek, a po lewej i prawej 2 pozostałe.

ABC: z warunku różniczkowego że mają być dwa ekstrema pierwsze o wartości dodatniej drugie ujemnej też rachunki nie są długie tam lepiej przyjąć parametr w wersji x³−3px+2=0 i szybko wychodzi p>1