Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: Fabian: √n+8−√n+3

Fabian: dobra to ogarnalem , juz wiem jak ale jak jest przyklad ze an=ⁿ√3ⁿ−1 to juz nie wiem jak, pomoglby ktos rozwiazac ale nie sama odpowiedz tylko w miare wyjasnic co sie skad wzielo? z gory dziekuje

jc: Jeśli 0 < a < 1, to a^1/n < a^1/(n+1). Gdyby było odwrotnie, tzn. a^1/n ≥ a^1/(n+1), to po podniesieniu obu stron do potęgi n(n+1) mielibyśmy aⁿ⁺¹ ≥ aⁿ, a stąd a ≥ 1, wbrew założeniu, że a<1. (3ⁿ − 1)^!/n = 3 (1 − 1/3ⁿ)^1/n < 3 (1 − 1/3ⁿ⁺¹ )^1/n < 3 (1 − 1/3ⁿ⁺¹)^1/(n+1) = (3ⁿ⁺¹ − 1)^1/(n+1).