granice Werve: Stosując twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym wykaż zbieżność tych ciągów:

	1		1		1
1) an=(1+		) + (1+		+ ... + (1+		)
	2		22		2n

2) an = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n − ln(n)

. : I problem polega na?

wredulus_pospolitus: i czy aby na pewno tak wyglądają te ciągu bo coś tutaj słabo to widzę aby pierwszy miał szansę być ograniczony

Werve: Przeprszam, w pierwszym zamiast + jest *

wredulus_pospolitus: No to sprawdzaj monotoniczność, sprawdzaj czy jest ograniczony.

jc: (1+1/2)*(1+1/4)=1+1/2+1/4+1/8 = 2−1/8 i ogólnie a_n = 1−1/2ⁿ⁺¹, ciąg rosnący i ograniczony

jc: Coś pokręciłem

jc: (1+x) ≤ e^x (1+1/2)(1+1/4)*(1+1/8)...(1+1/2ⁿ) ≤ e^{(1+1/2+1/4+1/8+...+1/2n)}<e² ciąg rosnący i ograniczony

jc: drugi przykład, myślę, że powinny wystarczyć nierówności 1/(n+1) < 2/(2n+1) < ln (n+1) − ln n < [1/n +1/(n+1] /2 < 1/n

jc: ln 2 − ln 1 < 1 ln 3 − ln 2 < 1/2 ln 4 − ln 3 < 1/3 ln 5 − ln 4 < 1/4 dodajemy stronami ln 5 < 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 < 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 a więc 0 < 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 − ln 5 i ogólnie 0 < 1 + 1/2 + ... + 1/n − ln n ciąg jest ograniczony z dołu aby przejść z wyrazu (n−1)−tego do n−tego do (n−1)−tego wyrazu dodajemy 1/n + ln(n−1) − ln n < 0 bo ln n − ln(n−1) > 1/n rozważany ciąg jest malejący