Poruszanie się po układzie współrzędnych / wkładanie piłek do szuflad
Staszek: Hej, mam problem z takimi zadaniami:
1) Poruszamy się w układzie kartezjańskim z punktu (0, 0) do punktu (4, 11). Na ile
sposobów możemy to zrobić, jeśli:
a) możemy poruszać się tylko w prawo lub do góry, ale nie możemy iść dwa razy
pod rząd w prawo?
b) możemy poruszać się w prawo, do góry lub po skosie prawo−góra?
2) Na ile sposobów można...
a) włożyć k identycznych piłek do n ponumerowanych szuflad?
b) włożyć k identycznych piłek do n ponumerowanych szuflad, tak aby każda
szuflada była niepusta?
c) włożyć k różnokolorowych piłek do n ponumerowanych szuflad?
2 gru 16:01
wredulus_pospolitus:
1. Czyli musimy 4 razy pójść 'w prawo' i 11 razy 'do góry'.
(a) skoro nie możemy pójść dwa razy prawo pod rząd to:
umieszczamy w rzędzie 11 razy 'do góry'. Pomiędzy nimi + przed pierwszy + za ostatnim mamy
miejsce w które możemy włożyć PO JEDNYM 'w prawo'.
Mamy tych miejsc 12 ... Na ile sposobów możemy wybrać 4 z tych miejsc dla 'w prawo'
![](emots/2/pytajnik.gif)
(b) tutaj najłatwiej będzie rozbić na pięć przypadków:
1. 0 po skosie.
2. 1 po skosie.
3. 2 po skosie.
4. 3 po skosie.
5. 4 po skosie.
I dla każdego z nich policzyć ... pokażę dla (4) czyli 3 po skosie:
3 po skosie, oznacza że 1 musimy pójść 'w prawo' i 8 razy 'do góry'.
Więc w sumie wykonamy 3+1+8 = 12 ruchów.
| | | |
* | = ... na tyle sposobów możemy przejść z punktu A do punktu B |
| |
2 gru 16:07
wredulus_pospolitus:
(a) mamy ponumerowane szuflady ... oznaczmy jako xi ilość piłeczek w i'tej szufladzie. W ten
sposób możemy zapisać takie oto równanie:
x1 + x2 + x3 + .... + xn = k (bo mamy w sumie k piłeczek) ; xi ≥ 0 dla 1 ≤ i ≤ n
Takie równanie za pomocą jakiego wzoru w kombinatoryce można rozwiązać?
2 gru 16:09
wredulus_pospolitus:
zastanów się jak możemy 'zmodyfkować' to równanie z 2.a, aby rozwiązać 2.b.
2 gru 16:10
Staszek: 1b) nie rozumiem skąd te symbole Newtona się wzięły
| | |
2a) kombinacja z powtórzeniami | |
| |
| | |
2b) xi >= 1 | (od razu jak zrobić indeks dolny/górny?) |
| |
2c) dalej nie mam pomysłów
2 gru 16:29
wredulus_pospolitus:
1.b.
w tym co zrobiłem:
masz początkowo 12 ruchów wykonać −−− powiedzmy że masz w takim razie 12 pól ... napierw trzy z
nich zajmujesz klockiem 'na skos'
ile pól zostaje? 12−3 = 9 ... z tych 9 pól wybierasz jedno dla klocka 'w prawo' stąd drugi
dwumian.
zostaje 8 pól i 8 klocków 'do góry'
2 gru 16:34
wredulus_pospolitus:
2.c
Skoro zarówno kulki jak i szuflady są ponumerowane ... to ... każda z kule "decyduje w której
szufladzie chce być"
Więc każda kulka może wybrać jedną z 'n' szuflad ... stąd ile będzie sposób rozmieszczenia?
2 gru 16:34
wredulus_pospolitus:
analogiczne zadanie do 2.c. to np.:
Masz 10 ludzi w windzie i przed sobą mają jeszcze 8 pięter ... na ile sposób mogą wysiąść z
tejże windy (kolejność wysiadania nie jest istotna, istotne jest na którym piętrze wysiadają)
2 gru 16:36
Staszek: W takim razie 1b)
i wynik to suma wszystkich przypadków
2c) po prostu n
k?
*) 8
10?
2 gru 16:56
wredulus_pospolitus:
1.b da
2.c da
2 gru 16:57
Staszek: Dzięki wielkie
2 gru 17:01