Poruszanie się po układzie współrzędnych / wkładanie piłek do szuflad

Poruszanie się po układzie współrzędnych / wkładanie piłek do szuflad Staszek: Hej, mam problem z takimi zadaniami: 1) Poruszamy się w układzie kartezjańskim z punktu (0, 0) do punktu (4, 11). Na ile sposobów możemy to zrobić, jeśli: a) możemy poruszać się tylko w prawo lub do góry, ale nie możemy iść dwa razy pod rząd w prawo? b) możemy poruszać się w prawo, do góry lub po skosie prawo−góra? 2) Na ile sposobów można... a) włożyć k identycznych piłek do n ponumerowanych szuflad? b) włożyć k identycznych piłek do n ponumerowanych szuflad, tak aby każda szuflada była niepusta? c) włożyć k różnokolorowych piłek do n ponumerowanych szuflad?

2 gru 16:01

wredulus_pospolitus: 1. Czyli musimy 4 razy pójść 'w prawo' i 11 razy 'do góry'. (a) skoro nie możemy pójść dwa razy prawo pod rząd to: umieszczamy w rzędzie 11 razy 'do góry'. Pomiędzy nimi + przed pierwszy + za ostatnim mamy miejsce w które możemy włożyć PO JEDNYM 'w prawo'. Mamy tych miejsc 12 ... Na ile sposobów możemy wybrać 4 z tych miejsc dla 'w prawo'

(b) tutaj najłatwiej będzie rozbić na pięć przypadków: 1. 0 po skosie. 2. 1 po skosie. 3. 2 po skosie. 4. 3 po skosie. 5. 4 po skosie. I dla każdego z nich policzyć ... pokażę dla (4) czyli 3 po skosie: 3 po skosie, oznacza że 1 musimy pójść 'w prawo' i 8 razy 'do góry'. Więc w sumie wykonamy 3+1+8 = 12 ruchów.

12
3

9
1

*

 = ... na tyle sposobów możemy przejść z punktu A do punktu B

2 gru 16:07

wredulus_pospolitus: (a) mamy ponumerowane szuflady ... oznaczmy jako x_i ilość piłeczek w i'tej szufladzie. W ten sposób możemy zapisać takie oto równanie: x₁ + x₂ + x₃ + .... + x_n = k (bo mamy w sumie k piłeczek) ; x_i ≥ 0 dla 1 ≤ i ≤ n Takie równanie za pomocą jakiego wzoru w kombinatoryce można rozwiązać?

2 gru 16:09

wredulus_pospolitus: zastanów się jak możemy 'zmodyfkować' to równanie z 2.a, aby rozwiązać 2.b.

2 gru 16:10

Staszek:

12
4

1a)

1b) nie rozumiem skąd te symbole Newtona się wzięły

k+n−1
k

2a) kombinacja z powtórzeniami 

k−n+n−1
k−n

2b) xi >= 1 

 (od razu jak zrobić indeks dolny/górny?)

2c) dalej nie mam pomysłów

2 gru 16:29

wredulus_pospolitus: 1.b. w tym co zrobiłem: masz początkowo 12 ruchów wykonać −−− powiedzmy że masz w takim razie 12 pól ... napierw trzy z nich zajmujesz klockiem 'na skos' ile pól zostaje? 12−3 = 9 ... z tych 9 pól wybierasz jedno dla klocka 'w prawo' stąd drugi dwumian. zostaje 8 pól i 8 klocków 'do góry'

2 gru 16:34

wredulus_pospolitus: 2.c Skoro zarówno kulki jak i szuflady są ponumerowane ... to ... każda z kule "decyduje w której szufladzie chce być" Więc każda kulka może wybrać jedną z 'n' szuflad ... stąd ile będzie sposób rozmieszczenia?

2 gru 16:34

wredulus_pospolitus: analogiczne zadanie do 2.c. to np.: Masz 10 ludzi w windzie i przed sobą mają jeszcze 8 pięter ... na ile sposób mogą wysiąść z tejże windy (kolejność wysiadania nie jest istotna, istotne jest na którym piętrze wysiadają)

2 gru 16:36

Staszek: W takim razie 1b)

15
0

15
4

(1)

*

14
1

13
3

(2)

*

13
2

11
2

(3)

*

12
3

9
1

(4)

*

11
4

7
0

(5)

*

i wynik to suma wszystkich przypadków 2c) po prostu n^k? *) 8¹⁰?

2 gru 16:56

wredulus_pospolitus: 1.b da 2.c da

2 gru 16:57

Staszek: Dzięki wielkie

2 gru 17:01