f odwrotna boni qluo: czesc czy moglby ktos rzucic okiem czy te przyklady sa poprawne zrobione? wyznacz o ile istnieja f⁻¹ g⁻¹ f∘g g∘f a) f(X) = arcsin(x−2), g(x) = √x+1 Df = [1;3] Dfg = [−1; ∞] Zwf = [−π/2 ; π/2] Zwf = [0; ∞] f(X) jest bijekcja jest bijekcja y= arcsin(x−2) x=√y+1 /² x=arcsin(y−2) / sin x² = y+1 sinx = sin(arcsin(y−2)) y = x² − 1 sinx= y−2 sinx +2 = y f∘g g∘f nie istnieja b) f(x) = log₂ (x+1) g(x) = x² − 1 Df = (−1 ; +∞) Dfg = R zwf = R Zwfg = [−1; ∞] f(x) jest bijekcja g(x) nie jest bijekcj f⁻¹ g⁻¹ nie ma y=log₂ (x+1) x = log₂ (y+1) 2^x = y+1 2^x − 1 = y f∘g nie ma g∘f = (log₂ (x+1))² − 1 c) f(x) = x² + x − 7 g(x) = f(x) + 7 = x² + x Df = R Df g= R Zwf = [−7,25; ∞) Zwfg = [−0,25 ; ∞) nie jest bijekcja nie jest bijekcja f∘g =(x² + x)² +x² + x − 7 g∘f = (x² + x − 7)² + x² +x − 7 e) f(x) = 4^x g(x) = log₀.5 x Df = R Dfg = (0; ∞) Zwf = (0; ∞) Zwf g= R bijekcja bijekcja y=4^x y= log_0.5 x x= 4^y x = log_0.5 y log₄ x = y (0.5)^x = y f∘g = 4^log_0.5x g∘f = log_0.5 4^x

boni qlou: Czy mógłby ktoś sprawdzić, proszę

6latek: Przeciez wczoraj pisalem zebys przy ∞ nie domykał a) było wczoraj wiec dobrze jest b) funkcja odwrotna f⁻¹ odwrotna g⁻¹ nie istnieje y=2^x−1 OK OK f(x)= log₂(x+1) g(x)= x²−1 D_f= (−1,∞) D_g=ℛ ZW_f=ℛ ZW_g=(−1,∞) fog ZW_g⊂D_f i tak jest wiec istnieje fog=log₂(x²−1+1)= log₂(x²) gof ZW_f⊂D_g i tak jest wiec istnieje gof= (log₂(x+1))²−1 c) f(x)= x²+x−7 g(x)= f(x)+7 ⇒ g(x)= x²+x f⁻¹ nie istnieje g⁻¹ nie istnieje (obie nie sa roznowartosciowe na całej dziedzinie ) D_f=ℛ D_g=ℛ ZW_f=[−7,25,∞) ZW_g= [−0,25,∞) fog ZW_g⊂D_f i tak jest więc złozenie istnieje fog= (x²+x)²+x²+x−7 (uporządkuj jesli trzeba ) gof ZW_f⊂D_g i tak jest więc istnieje złożenie gof= (x²+x−7)²+x²+x−7 Pozniej sprawdze e)

6latek: e) według mnie jest dobrze . Pokaż jak udowodniłes ze funkcja f(x)= log₂(x+1) jest róznowartościowa

boni qluo: a jak to sie powinno udowadniac? Bo ja rysowałem i patrzyłem czy jest bijekcja czy nie. Czyli ogolnie te funkcje sa ropoznane i zrobione dobrze?

6latek: Kolego z definicji sie udowadnia lub podaje kontrprzyklad Spróbuj to udowdnic z definicji

boni qluo: no iniekcja jest wtedy gdy funkcja nie przyjmuje żadnej wartosci Y więcej niz raz a suriekcja kazda wartosc z przeciwdziedziny jest przyjmowana chociaz raz

6latek: Inaczej . masz udowodnic z definicji ze funkcja f(x)=log₂(x+1) jest roznowartosciowa Zostawmy na razie (na)

6latek: czyli ∀ f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂ x₁,x₂∊D(f)

boni qluo: a co taka rownosc mowi, daje?

6latek: Jest to definicja róznowartosciowosci (powinno byc Ci znane ) Mamy funkcje f(x)= log₂(x+1) f(x₁)= log₂(x₁+1) f(x₂)= log₂(x−2+1) f(x₁)=f(x₂) log−2(x₁+1)= log₂(x₂+1) stąd x₁+1= x₂+1 /odejmujemy obustronnie 1 x₁=x₂ Dowiedliśmy z skoro f(x₁)=f(x₂) to x₁=x−2 wiec funkcja jest roznowartosciowa I tyle

6latek: to x₁=x₂

boni qluo: no ale jak funkcja nie byla by roznowartosciowa to to by nie wyszlo? I rozumiem ze tak w tych przykladach trzeba sprawdzac te przypadki nie tylko graficznie. Czy suriekcje tez jakos sie tak da?

6latek: Jak nie jest roznowartosciowa to nie ma funkcji odwrotnej Wczoraj podeslalem Ci link do obejrzenia . Skorzystaj z niego. Tam masz na kilku przykladach wszystko wyjasnione

chichi: jak mozna udowadniajac roznowartosciowosci funkcji korzystac z jej roznowartosciowosci

hmm: Profffesor 6latek tak mówi, to tak ma być

boni qluo: w sensie mi chodzi o to czy jak by podstawic te same obliczenia do funkcji ktora nie jest roznowartosciowa to czy to by nie wyszlo tak samo. I w takim wypadku jak to udowodnic dla przypadku gdy nie wiemy jaka jest

6latek: Skorzystałem z definicji która jest w repetytorium dla maturzystów i kandydatów na wyzsze uczelnie J Laszuka Jest tam tez definicja równowazna

chichi: naturalnie: f(x) = f(y) log₂(x+1) = log₂(y+1) log₂(x+1) − log₂(y+1) = 0 // korzystamy ze znanego wzoru

	x+1
log2		= 0 // korzystamy z definicji logarytmu
	y+1

x+1
	= 20 = 1 / • (y + 1)
y+1

x + 1 = y + 1 x = y

boni qluo: i tak nalezy w kazdym przypadku pisac by sprawdzic czy funkcja jest iniekcja? Czy suriekcje tez jakos tak trzeba w takich zadaniach zeby wiedziec czy istnieje funkcja odwrotna?

6latek: hmm Pewnie wiesz że nie byłem i nie jestem studentem zwłaszcza matematyki Próbuje sobie przypominać wiadomości ze szkoły sredniej która ukończyłem w 1978r . Korzystam z róznych ksiązek i materiałow . Pewnie pewne rzeczy wyglądaja inaczej dla studenta matematyki który ma cały aparat do dyspozycji niz uczen szkoly sredniej Dlatego tak jak napisałem korzystam z innych ksiązek niz z tych których sie uczyłem ,bo matematyka nie stoi w miejscu . Dlatego tez staram sie jak najmniej uzywac róznych symboli zeby ich nie uzyc nieprawidłowo .gdyz jezyk matematyczny powinien byc jednoznaczny Zaden ze mnie profesor tak między nami

boni qlou: i tak nalezy w kazdym przypadku pisac by sprawdzic czy funkcja jest iniekcja? Czy suriekcje tez jakos tak trzeba w takich zadaniach zeby wiedziec czy istnieje funkcja odwrotna?