Wymiar przestrzeni zaba: Niech A = {α1, α2, . . .} będzie przeliczalnym układem wektorów w przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Załóżmy, że dim lin{αi, αi+1, αi+2} = 2 dla każdego i ­≥1. Czy możliwe jest, aby przestrzeń lin(A) była nieskończenie wymiarowa?

Maciess: Hmmm ciekawe... Na pierwszy rzut oka tak, ale wydaje sie zbyt tendencyjne. Jesli nie, to powinno się wprost dać z tego wywnioskowac wymiar.

Maciess: No dobra, tak bez większej analizy, odpowiedź to będzie nie, a wymiar to 2.

zaba: A czemu?

Maciess: Podpwiedź, narysuj sobie ciąg tych wektorów i zacznij taką analize. Czy jestem w stanie wyrazic α₃ przy pomocy α₁ i α₂? Tak. Przesuwają się do kolejnej trójki dim Lin{α₂, α₃, α₄} = 2 Czyli α₄ moge zapisac jako kombinacje α₂ i α₃. Ale ustaliłem że α₃ da się zapisac jako kombinacja α₁ i α₂. Więc przyjmujemy że α₄ da się zapisać jako kombinacja α₁ i α₂. Kontyunując na tę samą modłę dostajemy że Lin(A) = Lin{α₁, α₂} no i że wymiar nie może być mniejszy od 2 pasowałoby też wskazać.

Maciess: Wydaje mi się, że przydałoby się to sformalizować ale chyba argument ok. Btw skąd zadanko? Ciekawe dość

zaba: Rzeczywiście, jakoś totalnie inaczej na to patrzyłem. Dzięki wielkie

zaba: Z jednego z kolokwiów z ubiegłych lat

jc: A jak co trzeci wektor będzie zerem, to pozostałem mogą być liniowo niezależne i mamy wymiar ∞, chyba że nie dopuszczamy powtarzających się wektorów (co to znaczy układ − zbiór czy ciąg? czy jeszcze coś innego).

zaba: To ewentualnie chyba co czwarty, bo co trzeci sprawiałby, że mielibyśmy czasem lin (0,α_n,0)=1

zaba: W sensie wymiar =1

zaba: Ale dla co czwartego chyba rzeczywiście wymiar A mógłby byś nieskończony

Maciess: faktycznie! także zależnie od definicji układu jak zbiór to dim 2, jak ciąg to może byc nieskonczonosc

jc: co trzeci a, b, 0, c, d, 0 , e, f, 0 a, b, 0 b, 0, c 0, c, d c, d, 0 ...

zaba: rzeczywiście, złóżmy to na późną godzinę hahah