Funkcja 123: Uzasadnij ze podane rownania maja jednoznaczne rozwiazania we wskazanych przedzialach 1) x³ + 6x − 2 = 0, [0, 1]; 2) xsinx=7, [2π;^5π₂] Prosze o pomoc

jc: (1) funkcja f(x)=x³+6x−2 jest funkcją rosnącą, więc mamy najwyżej jedno rozwiązanie. Sprawdź, że x=³√4 − ³√2 jest rozwiązaniem.

. : Możesz na przykład pokazać że w danym przedziale funkcja reprezentują lewa stronę rownania jest monotoniczna.

ite: Możesz skorzystać z twierdzenia Darboux, jeżeli znasz.

. : @Ite − Darboux da nam pewność że istnieje jakieś rozwiązanie, ale nie da pewności że będzie tylko jedno rozwiązanie.

jc: suma funkcji rosnących jest funkcją rosnącą f(0)=−2, f(1)=5, więc jeśli rozwiązanie istnieje (a istniej bo to funkcja ciągłą), to leży między 0 a 1.

ite: a jak dodać, że funkcja jest w podanym przedziale ściśle monotoniczna?

jc: Twierdzenie Dorboux? przecież nie mówimy o pochodnych.

123: Okej rozumiem, a to drugie?

jc: f(x) = x sin x [2π, (2+1/2)π] f(2π) = 0, f(2π + π/2) = 5π/2 > 15/2 > 7 funkcja jest ciągła, więc na tym przydziale przyjmuje w jakimś punkcie wartość 0, na dodatek na rozważanym przedziale jest rosnąca, więc istnieje tylko jeden punkt, dla którego mamy zero.

Yes: Czyli tak jak napisała ite twierdzenie Darboux

. : Monotoniczność + tw. Darboux.

Yes: Ja to polecenie rozumiem tak Mam pokazac ze istenieja rozwiązania .Z tym ze nie muszę (choć moge ile ich jest) ani tez nie podawac tych rozwiązań . Istnieje choćby jedno to sa rozwiązania

. : Jedno gwarantuje nam rozwiązania, drugie że będzie tylko jedno rozwiązanie.

jc: Raczej nie. Twierdzenie Darboux, mówi o przyjmowaniu wartości pośrednie przez pochodną funkcji rówżniczkowalnej (pochodna nie musi być ciągła!). Tu stosujemy twierdzenie Bolzano, które mówi, że funkcja ciągła przyjmuje wartości pośrednie.

Yes: Oczywiście

. : JEDNOZNACZNE ROZWIAZANIE oznacza że jest to jedno rozwiązanie,

Yes: jc Nie wiem czy juz Pan profesor czy jeszcze Pan doktor Góniak na swoich wykladach inetrnetowych mówił ze to twierdzenie Darboux jest tez nazywane Twierdzeniem Bolzano

ABC: mnie uczyli o własności Darboux , że każda funkcja ciągła ma własność Darboux (ale nie tylko funkcje ciągłe ją mają)