indukcja .: Czy w dowodzie indukcyjnym można wyjść przekształcając tezę i dojść do czegoś, co udowodniliśmy wcześniej?

jc: Zawsze możemy się zastanawiać, co by nam wystarczyło, aby wykazać tezę. Możemy też wypowiadać tezę w sposób równoważny. Przykład. a² + b² ≥ 2ab Równoważna nierówność: (a−b)² ≥ 0. W zapisie dowodu wolę jedna zdanie: Ponieważ (a−b)² ≥ 0, więc a² + b² ≥ 2ab. A jak jest w trudniejszych i dłuższych dowodach? Różnie. Wystarczy pamiętać, że autor dowodu mógł długo rozmyślać na dowodem i już dawno zapomniał, skąd pomysł na taką, a nie inną drogę.

.: rozumiem czyli mając tezę: a_n+2 < a_n+1 mogę zapisać ją jako a_n+1 /(a_n+1 + 1) <a _n+1 i dalej przekształcać do a_n+1 > 0 ?

.: nie piszę całego polecenia bo nie jest to koneczne, a n+2 zapisałem ze wzoru rekurencyjnego

.: w sumie odpowiedziałeś już, dziękuję

jc: Jaki jest związek tezy z tym, co napisałeś w drugiej linii? Lepiej pokaż zadanie.

.: podstawiłem po prostu wzór ciągu a₁ = ... a_n+1 = a_n /(a_n + 1)

.: nie no powinno być git

.: a wcześniej wykazałem że a_n, a₊₁ > 0

jc: czyli po kolei, a_n>0, zatem a_n+1=a_n/(a_n + 1) < a_n i a_n+1=a_n/(a_n + 1) > 0.

.: no i przekształcając teze to właśnie dostaję

.: zatem można chyba w ten sposób to wykazać ewentualnie od końca i nie mówić o indukcji, zacząć od a_n > 0

jc: Wydaje się, że masz wzór rekurencyjny ciągu. Wiesz, że a₁ > 0 i a_n+1 = a_n/(1+a_n). Masz zapewne pokazać, że ciąg jest malejąc i ograniczony.. Faktycznie, a₁>0 i jeśli a_n > 0 to a_n+1 = a_n/(1+a_n)>0. Wiemy już, że a_n > 0 i dlatego a_n+1 = a_n/(1+a_n) < a_n, co oznacza, że ciąg jest malejący, Możesz nie używać słowa indukcja, ale i tak będzie to dowód indukcyjny, Poza tym nie widzę, gdzie tu przekształcasz tezę. Wszystko jest po kolei.