liczby he Papudrak: Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną, która w wyniku podzielenia przez 15 daje resztę 13, a w wyniku podzielenia przez 13 daje resztę 11.

Papudrak: a=13x+11 a=15y+13 a, x, y ∊ N 13x+11=15y+13 13x−15y=2 13x=15y+2 Podstawiałem po kolei za y od 1 do 7 i nie otrzymałem równania tożsamościowego. Moje myślenie musi być błędne.

wredulus_pospolitus: 13x = 15y + 2 13x = 13y + 2y + 2 13(x−y) = 2y + 2 jak widzisz −−− prawa strona zawsze jest parzysta związku z tym, lewa strona też musi być parzysta. 1. niech x−y = 2 −−−> L = 26 −−−> y = 14 (i x = 16) i masz najmniejszą liczbę

chichi: masz do rozwiązania liniowe rownanie diofantyczne, poczytaj w internecie jak sie to robi korzystając z rozszerzonego algorytmu euklidesa, to jest trywialny algorytm

wredulus_pospolitus: oczywiście y= 12 i x = 14

Mila: lub CRT lub tak: x=15k+13 x=13m+11, m,k∊C 15k+13=13m+11 15k=13m−2 2k=13m−2 odwrotna do 2 w Z₁₃ to liczba 7 (2*7=14≡1(mod13) 2*7k=13m₁−14⇔ k=13m₂+12 Podstawiam do pierwszego r. x=15*(13m₂+12)+13 x=195m₂+180+13 x=195m₂+193, m₂∊C ============== spr. 193=12*15+13 193=14*13+11 ===========

aa: Wykorzystując własność ciągu arytmetycznego a_n= 13+(n−1)*15 = 15n−2 b_m= 11+(m−1)*13 = 13m−2 a_n=b_m ⇒ 15n=13m , m,n∊N+ to najmniejsze n=13 najmniejsze m=15 zatem a₁₃= 15*13−2 = 193 i b₁₅= 13*15−2= 193 Odp: szukana liczba o tej własności to 193

Papudrak: Dziękuję za rozwiązania. Chciałbym dodać, że jest to zadanie ze zbioru Pazdro, na poziomie 1 klasy liceum i chyba nie wszystkie powyższe się na 1 kl. i obecny przerobiony materiał łapią. Rozwiązanie wredulus z 17:25 15 lis wygląda najłatwiej. Dziękuję za pomoc.

ABC: a czekałem aż ktoś zauważy rozwiązanie łamigłówkowe liczba większa o 2 od poszukiwanej dzieli się zarówno przez 13 jak i przez 15 x+2=13m oraz x+2=15k , czyli 13m=15k i dalej już łatwo najmniejszą taką znaleźć

Mila: ABC już kiedyś tu na forum podałam takie, jak Twoje rozwiązanie ( takie rozwiązanie dla dawnej VIII klasy), Sporo tutaj studentów i podałam niepotrzebnie rozw. 18:48 Pozdrawiam

ABC: