wzory redukcyjne marek: poznałem metodę na wzory redukcyjne 3) Wzory redukcyjne − ta metoda jest już znacznie częściej stosowana, lecz wciąż spotykam uczniów, którym nauczyciele w szkołach "każą" (a właściwie karzą, bo to wygląda na surową karę) uczyć się 16 wzorów, na które jest 1 prosta metoda. Wyjaśnię na prostym przykładzie. Chcemy obliczyć sin(240°) KROK.1. Zapisujemy kąt 240° jako sumę lub różnicę kątów, z których jeden z kątów jest równy 90°,180°,270° lub 360° a drugi jest kątem ostrym. Np. 240° = 180°+60° albo 240° = 270°−30°. KROK.2. Sprawdzamy czy dana funkcja jest dodatnia czy ujemna w danej ćwiartce (korzystając np. z "metody płaczących żółwii"): 240° to kąt z ćwiartki III, a sinus w III ćwiartce jest ujemny. Piszemy więc minus. KROK.3. Jeśli w kroku 1 jako pierwszy składnik wybraliśmy 90° lub 270° wtedy funkcja przechodzi w kofunkcję (dla sinusa jest to cosinus, dla cotangensa tangens itd.), dla kątów 180°, 360° funkcja nie zmienia się. KROK.4. Opuszczamy składnik 90°,180°,270° lub 360° wybrany w kroku I wraz ze znakiem stojącym przy kącie ostrym. Podsumowując: I. sposób: sin(240°)= sin(180°+60°) = −sin(60°) II. sposób: sin(240°)= sin(270°−30°) = −cos(30°) ale do szczescia brakuje wzoru redukcyjnego z 45, bo nie idzie z tych tego obliczyc niektorych. Czy mógłby ktoś pomóc jak to zapamiętać? Bo 45 chyba nie wchodzi do tej regułki

wredulus_pospolitus: Twoja 'metoda' to nic innego jak wyjaśnianie skąd powstały te wzory ... gratulacje. Problem w tym, że większość uczniów 'nie rozumie' i nie jest zainteresowana poznaniem 'skąd to powstało' ... woli zapamiętać suche wzory i bezmyślnie je stosować. Nauczyciele − cóż ... wielu z nich nie powinno uczyć (zwłaszcza tych w małych miejscowościach). sin (k*90 + 45) = ±sin(45^o) = ± cos(45^o) = ±cos(n*90 + 45) znak zależy od ćwiartki

The Trust: sin(45^o−x)= cos(90^o−(45−x))=cos(45^o+x) cos(45^o−x)= sin(90^o−(45^o−x))=sin(45^o+x) tg(45^o+x)= ctg(90^o−(45^o+x))= ctg(45^o−x) itd

www: https://buki.org.pl/blogs/trygonometria-5-sprytnych-metod-i-absurdalnych-skojarze/

wmboczek: KROK 3 właściwie do pominięcia, jeśli w KROK 1 zdecydujemy się tylko na 180 i 360 stopni

marek: no tak ja to wzialem z tej strony ale tam nie pisze czy dla 45 sie funkcja zmienia czy nie zmienia w konfunkcje i te metody nie dzialaja na 45 stopni i nie wiem jak to robic

The Trust: wp ,a coś Ty kur..a taki nerwowy?

wredulus_pospolitus: @marek −−− jak napisałem wcześniej. jako, że sin(45^o) = cos(45^o) to możesz zarówno zmienić jak i nie zmienić bo to jest bez różnicy

marek: no ale to nie działa bo chce sin(50^o) patrze ze pierwsza cwiartka wiec dodatnie sin( 45^o + 5^o) = sin 5^o i to sie nie zgadza

. : My się nie zrozumieliśmy sin50 = sin(45+5) = sin(45−5) = sin40

. : Miało byc cos(45−5) = cos40

marek: sin40^o = (sin 45^o − 5^o) = sin 5^o tez nie prawda

marek: nie rozumiem w takim razie jak mam wzory na 45 + x i 45 − x to skąd mam wiedzieć czy zmieniać funkcje czy nie

marek: bo tam dla 180 360 nie zmienialem nic a dla 90 270 kofunkcja i sprawdzałem w jakiej cwiartce zeby dac znac a jak mam 45 − x i 45 + x to ten algorytm nijak nie dziala

. : Marek − wybacz ale nie do końca Ciebie rozumiem co Ty dokładnie chciałbyś mieć?

The Trust: Ten algorytm tez działa Mamy kąt (45^o+α) . Jakim kątem musi być α? Musi być takim kątem ze α≤45^o .Jeśli α>45^o to kąt 45^o+α nie jest kątem ostrym Z tego więc wynika ze kąt (45^o+α) i kąt (45^o−α) muszą byc kątami dopelniającymi czyli 45^o+α+45^o−α=90^o−jestes w 1 ćwiartce a to juz wiesz co tam sie dzieje więc np prawdziwa jest równośc sin(45^o+α)=cos(45^o−α)

marek: no nie nie dziala chce rozwiazac sin 40 stopni pokazac jaki to inny kat sin( 45 − 5) i to nie jest sin 5 chcialbym wzoru jak tamte (np sin (180 − x) = sin x tylko na 45

. : Nie ma takiej możliwości Zauważ że sinx to tak naprawdę sin (0+x) Wzory o której wczesniejvpisales dotyczą zależności pomiędzy kątami 0 + n*90 +/− x Wiec zależności jakie chce teraz to zależności pomiędzy katami 45 + n*90 +/− x Nie możesz 'od tak' przejść z jednego grupy do drugiej − a na pewno nie w taki sposób jak sobie myślisz. sin(40) = sin(45−5) = cos(45+5) = cos 50

marek: czyli zeby poradzic sobie z kazdym zadaniem to poza znaniem tej zasady co pisalem z dodawaniem i odejmowaniem od 90 180 270 360 musze cos znac jeszcze? Czy to sin(45+x) = cos(45−x) nalezy na pamiec sie nauczyc?

wredulus_pospolitus: nie ... tak naprawdę wystarczy potrafić narysować wykresy sinx i cosx oraz znać zasadę: sinx = cos(90−x) co można kojarzyć poprzez narysowanie sobie trójkąta prostokątnego

marek: ale znam te obie rzeczy i jak mam to wykorzystac

wredulus_pospolitus: to podaj przykład kąta z jakim mamy się 'bawić'

marek: no jakas taka ktorej nie mozna zrobic przez odejmowanie/dodawanie 90 180 360 270 a bardziej taka blizej tych 45 40 50

marek: chyba ze tak sie nie da

The Trust: Musisz zrozumiec jedno Wzory redukcyjne postaci (90^o−α), ( 90^o+α) , (180^o−α) itd służa do redukcji kata do 1 ćwiartki (czyli α∊ (0 do 90^o) Natomiast wzory postaci (45^o+α) i (45^o−α) służa do redukcji kąta do 1 oktanu czyli α∊(0,45^o) Ale pamietaj ze nadal tutaj jesteśmy w 1 cwiartce wiec sinus przechodzi na cosinus , cosinus na sinus i td wezmy np cos80^o= cos(45^o+α) =cos(45^o+35^o) więc nasze α=35^o (należy do przedziału (0,45^o) cos(45^o+35^o)= sin(45^o−35^o)=sin10 stad cos80^o=sin10^o To samo dostaniesz ze wzoru postaci (90^o−α) bo cos 80^o= cos(90^o−10^o)= sin10^o wezmy dla przykladu tg120^o tg120^o=tg(45^o+75^o) wiec nasze α=75^o więc nie nalezy do przedziału (0,45^o) tutaj juz musisz liczyc z tych 1 wzorów redukcyjnych

The Trust: Inny prościejszy przyklad sin30^o zapiszmy to za pomoca wzoru (45^o−α) sin30^o= sin45^o−15^o) nasze α=15^o sin30^o=sin(45^o−α)=sin(45^o−15^o)=cos(45^o+α)=cos60^o A to jest prawda . czy teraz juz bardziej jasne ?

dobra rada: Nie rób mu sieczki z mózgu !

The Trust: Wujek dobra rada jak zwykle w akcji musi być

The Trust: Przepraszam bardzo ale nie lubię takich ludzi którzy nie pomogą ale na końcu zaszwe maja nawięcej do powiedzenia

marek: Ale pamietaj ze nadal tutaj jesteśmy w 1 cwiartce wiec sinus przechodzi na cosinus , cosinus na sinus i td czemu tak jest w 1 cwiartce?

The Trust: sin(90−α)=cosα cos(90−α)=sinα tg(90^o−α)= ctgα ctg(90^o−α)=tgα Przeciez tak jest zawsze w 1 cwiartce

The Trust: Pytałes o wzory postaci (45^o+α) i (45^o−α) więc Ci napisałem o co kaman Więcej nic nowego w tym temacie nie wymyślę

marek: a skad dokladnie sie to bierze ze dla tych 90 270 zmieniamy funkcje na kofunckje a dla 180 360 nie

The Trust: Wpis z 13:35

marek: o ten wpis chodzi tak? Bo z 35 po jest moj sin(45o−x)= cos(90o−(45−x))=cos(45o+x) cos(45o−x)= sin(90o−(45o−x))=sin(45o+x) tg(45o+x)= ctg(90o−(45o+x))= ctg(45o−x) itd ale czemu cos(90o−(45−x))=cos(45o+x) a nie =cos(45 − x) czemu zmieniasz znak miedzy 45 a x

The Trust: cos(90^o−(45^o−x))=cos(90^o−45^o+x )=cos(45+x) jest (−) przed nawiasem

The Trust: Post 19:41 Pokaże na jednym przykładzie dlaczego Np cos(90^o+α)=−sinα cos(90^o+α)= cos90^o*cosα−sin90^o*sinα= 0*cosα−1*sinα=0−sinα=−sinα

marek: a skad ten wzor z odejmowaniem cos90o*cosα−sin90o*sinα co to jest

The Trust: Ok. Koniec zabawy .

Monika: Ad. Marek. Jako post scriptum tej zabawy dodam, że szkoda, że nie znaliśmy się wcześniej, bo ja tę metodę stosuję od lat. Staram się używać do redukcji 180 i 360 stopni, a wtedy kofunkcja mnie nie interesuje tylko znak ćwiartki z zapewne wszystkim znanego wierszyka: w I ćwiartce same plusy, w II tylko sinus w III tg i ctg a w IV cosinus. Pozdrawiam serdecznie.

The Trust: Napisałem koniec zabawy bo ktoś zaczął sobie robic jaja . Tak naprawdę to te wzory sin(45+α)=cos(45−α) cos(45−α)=sin(45^o+α) dobrze jest znac Przykład cosα+sinα= √2sin(45^o+α) i od razu mozemy napisac ze =√2cos(45^o−α) cosα−sinα=√2cos(45^o+α)= √2sin(45^o−α)

marek: ale o jakie jaja chodzi? Chodziłlo mi skąd wytrzasnąłeś takie coś cos(90o+α)= cos90o*cosα−sin90o*sinα= 0*cosα−1*sinα=0−sinα=−sinα

The Trust: jest wzor cos(α+β)= cosα*cosβ−sinα*sinβ U nas jest cos(90+α)= cos90^o*cosα−sin90^o*sinα cos90^o=0 widac na wykresie funkcji cosinus x a sin 90^o=1 ja uzywam tutaj kątowej jesli łukowej to tak

	π		π
cosU({π}{2}+α)= cos		*cosα−sin		*sinα=−sinα
	2		2

np sin(π+α)=sinπ*cosα+cosπ*sinα sinπ=0 cosπ=−1 sin(π+α)=0*cosα+(−1)*sinα=−sinα Masz wzory na sin(α+β) sin(α−β) cos(α+β) itd Myslaem ze to juz wiesz