studia zadanie z macierzy postać bazowa nick1: Rozwiąż układ równań liniowych przez sprowadzenie ich do postaci bazowej. Znajdź wszystkie rozwiązania bazowe. x₁ − 2x₂ − x₃ + x₄ = 3 x₁ − x₂ − x₃ + 2x₄ = 1 2x₁ − 3x₂ − 2x₃ + 3x₄ = 4 Stworzyłem macierz U: 1 −2 −1 1 | 3 U = 1 −1 −1 2 | 1 2 −3 −2 3 | 4 Metodą operacji elementarnych przekształciłem macierz U do postaci bazowej: 1 0 −1 3 | −1 0 1 0 1 | −2 0 0 0 0 | 0 Stworzyłem układ równań jaki mi wyszedł: x₁ − x₃ + 3x₄ = −1 x₂ + x₄ = −2 Wyznaczyłem postać ogólną rozwiązania: x₁ = −3t₂ + t₁ − 1 x₂ = −t₂ − 2 x₃ = t₁ ; t₁ ∊ R x₄ = t₂ ; t₂ ∊ R I w tym miejscu się zatrzymałem... Nie mam pojęcia jak wyliczyć rozwiązania bazowe. Pomoże ktoś? Przy okazji mógłby ktoś sprawdzić czy wcześniej nie popełniłem jakiegoś błędu.

wredulus_pospolitus: rozwiązanie 'bazowe' to takie gdy 'narzucasz' że n−k niewawiadomych jest równa 0. Więc mamy takie możliwości: 1. x₁ = 0 i x 2 = 0 2. x₁ = 0 i x₃ = 0 3. x₁ = 0 i x₄ = 0 4. x₂ = 0 i x₃ = 0 5. x₃ = 0 i x₄ = 0 (jedynie x₂ = 0 i x₄ = 0 jest niemożliwe do zajścia −−− mam nadzieję, że widzisz dlaczego).

nick1: Właśnie nie za bardzo rozumiem od momentu rozwiązań bazowych... W moim przykładzie zmiennymi bazowymi są niewiadome x₁ i x₂, bo ich współczynniki są elementami macierzy jednostkowej. (def. z której korzystam: "Niewiadome x₁ ,x₂ , ... , x_r , których współczynniki są elementami macierzy I_r nazywamy zmiennymi bazowymi.") Natomiast zmiennymi niebazowymi w tym przypadku są niewiadome x₃ i x₄ i jest ich n−r (n − liczba niewiadomych, r − liczba równań układu). I tutaj już coś pomieszałem, bo mam dwie zmienne niebazowe, a n−r wychodzi mi 1 (4 niewiadome − 3 układy równań = 1) Rozwiązanie bazowe układu to takie rozwiązanie, w którym zakładamy, że wszystkie zmienne niebazowe są równe 0 (tak jak napisałeś). Liczba rozwiązań bazowych układu nie jest większa od

	n r		4 3
		. I tutaj znowu czegoś nie rozumiem.		= 4, a u ciebie tych rozwiązań jest 5,

więc gdzieś zgubiłem jeszcze jedno rozwiązanie. Dlaczego x₂ = 0 i x₄ = 0 jest niemożliwe do zajścia? Ponieważ jeśli x₂ przyrównamy do 0 to wyjdzie t₂ = −2, a t₂ to x₄, które zostało przyrównane do 0, a −2 ≠ 0. wreduluspospolitus liczę na twoją pomoc i mam nadzieję, że mi wytłumaczysz

wredulus_pospolitus:

	4 2
Ja widzę 2 równania, a nie trzy −−− stąd		= 6, ale z wiadomych powodów ten jeden o

którym pisałem jest niemożliwy do spełnienia. Na chłopski rozum ... rozwiązania bazowe to będą takie rozwiązanie w których PRZYNAJMNIEJ tyle niewiadomych ile przyjmujesz parametrów, będzie równa 0

	4 2
Mamy 4 niewiadome, 'wybieramy sobie 2 które będą zerami' ... stąd		= 6.

	n k
I w teorii jest powiedziane, że będzie NIE WIĘCEJ NIŻ		rozwiązań.

	4 2
Nam wychodzi 5 co jest nie więcej niż		= 6

nick1: Już wiem dlaczego Ty widzisz 2 równania, a ja 3. Ja błędnie patrzyłem na początkowy układ równań, a Ty patrzysz na "nowy" układ równań wynikający z macierzy bazowej (jest to w sumie logiczne, macierz BAZOWA − rozwiązanie BAZOWE) Już zrozumiałem. Wielkie dzięki za pomoc!