logika, zaprzeczenia zuhause: Zapisz poniższe zdania logiczne w postaci symbolicznej i rozstrzygnij ich prawdziwość zawsze nigdy w poszczególnych przypadkach podpunkt a jeśli istnieje Julia w której można zakochać się każdy Romeo to dla każdego romea istnieje Julia w której może się zakochać podpunkt b jeśli dla każdego romea istnieje Julia w której się może zakochać to istnieje Julia w której można zakochać się każdy Romeo podpunkt c jeśli z faktu że Kraków jest na południe od Warszawy wynika że Kraków nie jest na południe od Warszawy to Kraków nie jest na południe od Warszawy podpunkt d jeśli z faktu że nieprawdą jest że czosnek szkodzi wampirom wynika że szkodzi im cebula to wampirom szkodzi czosnek i cebula podpunkt e leonard ma brodę lub wąsy wtedy i tylko wtedy gdy jeżeli nie ma brody to ma wąsy zapisz symbolicznie i słownie ich zaprzeczenia a) p(r,j) Romeo może zakochać się w Julii ∃ j∊J ∀r∊R P(r,j) ⇒ ∀ r∊R ∃ j∊J p(r,j) b) ∀ r∊R ∃ j∊J p(r,j) ⇒ ∃ j∊J ∀ r∊R p(r,j) c) p− kraków jest na południe od Warszawy p ⇒ ¬p ⇔ ¬p d) p − czosnek q − cebula ¬p ⇒ q ⇔ p ∧ q e) p − ma brodę q − ma wąsy p ∨ q ⇔ ¬p ⇒ q moje pytanie czy dobrze to zapisałem i jak określić wartość logiczną tych zdań i to zapisać? I mam też wątpliwość jak zapisać zaprzeczenia

ite: c/, d/, e/ alternatywa, koniunkcja, implikacja, równoważność to spójniki dwuargumetowe oraz (jeśli nie wskaże się pierwszeństwa którychś z nich) mające tę samą kolejność wykonania. Sytuację ratuje używanie nawiasów, które wskazują argumenty oraz kolejność wykonania działań. Musisz pouzupełniać nawiasy, bez nich zapisy są nieczytelne.

zuhause: w sensie zapisy c d e sa niewlasciwe bo brakuje nawiasow czy we wszystkich

ite: zdanie (p ⇒ ¬p) ⇔ ¬p bo to jest równoważność jest inne niż p ⇒ (¬p ⇔ ¬p) to z kolei jest implikacja dlatego stosuje się nawiasy, żeby było wiadomo który wariant się wybrało

zuhause: a) p(r,j) Romeo może zakochać się w Julii ∃ j∊J ∀r∊R P(r,j) ⇒ ∀ r∊R ∃ j∊J p(r,j) b) ∀ r∊R ∃ j∊J p(r,j) ⇒ ∃ j∊J ∀ r∊R p(r,j) c) p− kraków jest na południe od Warszawy (p ⇒ ¬p) ⇔ ¬p d) p − czosnek q − cebula (¬p ⇒ q) ⇔ p ∧ q e) p − ma brodę q − ma wąsy (p ∨ q ) ⇔ ¬p ⇒ q czy tak jest ok?

ite: Za chwilę wychodzę, jeśli nikt wcześniej nie odpowie, to napiszę wieczorem.

zuhause: ok

zuhause: bo głównie mam problem (teraz czy dobrze dałem nawiasy) ale jak określic prawdziwość tych dziwnych zdań i jak to zaprzeczyć. Na prostych przykładach wiem jak to sie wszystko robi ale tu nie wiem

6latek: Pani ite na pewno pomoże bo to z natury dobra kobieta jest . Ale czy Ty masz w ogóle jakąś książkę na której mógłbyś się wzorować przy rozwiązywaniu zdań ? Choćby np Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz Elementy logiki i terorii mnogości w zadaniach .

zuhause: mam takie ogolne do matematyki na studiach i ja umiem to zrobic na prostych przykladach ale tutaj zaprzeczenie nie jest dla mnie takie oczywiste np czy w a) to ja mam po prostu użyć prawa zaprzeczenia implikacji i pozmieniac te kwantyfikatory?

ite: Czy masz w poleceniu, żeby tylko a/ i b/ zapisać za pomocą predykatów? W takim razie dla c/, d/, e/ będzie to tak c/ (p ⇒¬p) ⇒¬p implikacja, bo użyte jest sformułowanie "... jeśli ... to ..." d/ (¬p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q) również "... jeśli ... to ..." czyli implikacja e/ OK (p ∨ q) ⇔ (¬p ⇒ q) Żeby określić, jaką wartość przyjmują te wyrażenia zastosuj któryś ze sposobów podanych na wykładzie lub ćwiczeniach, np. metodę zero−jedynkową pełna lub skróconą, albo przejrzyj podany zestaw tautologii KRZ .

zuhause: w poleceniu nie mam nic podane takie nie wiem co to znaczy za bardzo

zuhause: cala tresc jest dokladnie taka jak podalem w 1 wpisie

zuhause: ale czyli moge zostawić te nawiasy tak jak podałem o 13:19 czy cos trzeba zmienic? I my robilismy takie tabelki z 0 i 1 aby okrelisc ta wartosc ostateczna ale jak niby zrobic taka tabelke w przykladzie a b d czy e gdzie nie moge stwierdzic czy np leonard ma wasy czy romeo moze zakochac sie w kazdej julii jak mam okreslic 1 czy 0 takich stwierdzen

ite: a/ P(x,y) − x może zakochać się w y−ku Jeśli J to zbiór Julii gotowych na zakochanie się, a R jest zbiorem Romeów również na to zdecydowanych, to ∃x∊J ∀y∊R P(y,x) ⇒ ∀y∊R ∃x∊J P(y,x) b/ ∀y∊R ∃x∊J P(y,x) ⇒ ∃x∊J ∀y∊R P(y,x) Żeby napisać zaprzeczenia tych zdań, musisz zanegować i kwantyfikatory i implikację.

ite: Zapisy z 13:19 nie są dobre, poprawki są podane o 19:48. Jak zapiszesz zdania za pomocą symboli p i q, to już się nie zastanawiasz nad wąsami, tylko wpisujesz do tabeli dwie możliwości dla zdania q (0 i 1). Tak samo dla zdania p zapisujesz dwie możliwości i analizujesz, jakie wartości przyjmuje zdanie złożone (p ∨ q) ⇔ (¬p ⇒ q).

zuahuse: czy zaprzeczeniem a bedzie a) ¬(...) ⇔ ∀x∊J ∃y∊R P(y,x) ∧ ∃y∊R ∀x∊J ¬ P(y,x) czy chodzi o cos takiego?

ite: tak

Zuhausd: b) ¬(...) ⇔ ∃x∊R ∀ y∊J P(y,x) ∧ ∀y∊J ∃x∊R ¬ P(y,x)

Zuhausd: c) (p ⇒¬p) ⇒¬p ¬ (..) ⇔ (p ⇒¬p) ∧ p d) (¬p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q) ¬ (..) ⇔ (¬p ⇒ q) ∧ ¬(p ∧ q) e) (p ∨ q) ⇔ (¬p ⇒ q) ¬ (..) = to nie wiem jak bo to nie implikacja

Zuhausd: czy te tez sa ok?

ite: a/ nie zauważyłam błędu o 20:12 negując, posługujemy się schematem ¬(p⇒q)⇔(p∧¬q) więc zaprzeczenie pojawia się tylko przy następniku implikacji (czyli dla q), p pozostaje bez zmian ¬[∃x∊J ∀y∊R P(y,x) ⇒ ∀y∊R ∃x∊J P(y,x)] będzie równoważne ∃x∊J ∀y∊R P(y,x) ∧ ∃y∊R ∀x∊J ¬P(y,x) b/ ¬[∀y∊R ∃x∊J P(y,x) ⇒ ∃x∊J ∀y∊R P(y,x)] będzie równoważne ∀y∊R ∃x∊J P(y,x) ∧ ∀y∊J ∃x∊R ¬P(y,x)

ite: c) OK d) OK e) zaprzeczenie równoważności należy zbudować wg schematu ¬(p⇔q) ⇔ ¬[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇔ [¬(p ⇒ q)] ∨ [¬(q ⇒ p)] ⇔ [(p ⇒¬q) ∨ (q ⇒¬p)]

Zuhausd: czyli kwantyfikatory ∀ ∃ zmieniamy na przeciwne tylko przy ¬q

ite: tak, tylko tam gdzie negujemy

zuhause: a i mam jedno pytanie bo rysowałem tabelki by okreslic prawdziwosc zdania i w przypadku c d e czyli krakowa czosnku i wąsów sprawa była prosta bo oznaczałem to jako p i q i wszystkie możliwości ale jak mam oznaczyć a i b? Bo to w teorii jest tylko implikacja ale jest to tam tak pogmatwane ze zbiorami juli i kwantyfikatorami ze nie jestem pewien jak to ująć?

ite: a/ i b/ Najlepiej sformułować to zakochanie zaczynając od Julii: Julia (=x) w której można zakochać się Romeo (=y) wtedy predykat P(x,y) to będzie "x w którym może zakochać się y". U mnie o 20:03 lepiej brzmiało po polsku ale komplikowało zapis. Poprawienie predykatu daje zapisy a/ ∃x∊J ∀y∊R P(x,y) ⇒ ∀y∊R ∃x∊J P(x,y) oraz b/ ∀y∊R ∃x∊J P(x,y) ⇒ ∃x∊J ∀y∊R P(x,y) I wtedy w a/ otrzymuje się prawo przeniesienia kwantyfikatora egzystencjalnego za ogólny https://pl.wikipedia.org/wiki/Prawa_rachunku_kwantyfikator%C3%B3w . Czyli taka implikacja jest zawsze prawdziwa. Odwrócenie tej implikacji w b/ dałoby zdanie prawdziwe jedynie w sytuacji, gdyby na świecie żyła tylko jedna Julia. Jeśli żyje więcej Julii, zdanie może być fałszywe lub prawdziwe (to zależy jak wybiorą Romeowie).

zuhause: czyli tego nie da sie zapisac w tabelce tylko trzeba to jakos wnioskowac? czemu Przeniesienie kwantyfikatora egzystencjalnego za ogólny (nie odwrotnie!) uznajemy ze taka implikacja jest zawsze prawdziwa?

ite: To przeniesienie kwantyfikatora egzystencjalnego za ogólny jest prawem rachunku kwantyfikatorów (i akurat ma postać implikacji). To znaczy że, jest prawdziwe w każdej interpretacji zmiennych x i y, po ludzku: co byśmy nie podstawili za x i za y i jakiego predykatu byśmy nie użyli, to z prawdziwości poprzednika implikacji zawsze wynika prawdziwość następnika. Np. jeżeli istnieje taka przyprawa /∃x∊J/, której używa się każdym domu /∀y∊R/ (sól?), to na pewno o każdym domu można powiedzieć, że używa się tam jakiejś przyprawy. Implikacja odwrotna nie jest prawem rachunku kwantyfikatorów, bo można wskazać taką interpretację, w której implikacja odwrotna nie będzie prawdziwa. Np. dla każdego człowieka istnieje kobieta, która go urodziła, ale z tego nie wynika, że istnieje kobieta, która urodziła każdego człowieka.