Rownania kwadratowe W: Dane jest równanie (k−2)x²−(k+1)x−k=0 o niewiadomej x A) wyznacz zbiór wartości parametru k dla których równanie to ma tylko ujemne rozwiązania B) Wyznacz zbiór wartości parametru k dla których równanie to ma rózwiązania x₁ i x₂ spełniające warunek |x₁|+|x₂|≤1 A) dla k=2 równanie jest równaniem liniowym postaci −3x−2=0 k≠2 Δ≥0 warunek istnienia pierwiastków (−k−1)²−4*(k−2)*(−k)≥0 k²+2k+1+4k²−8k≥0 5k²−6k+1≥0 Δ=16

	1		1
k1=		k2= 1 k∊(−∞,		]U[1,∞)
	5		5

x₁+x₂<0

k+1
	<0 i k≠2
k−2

(k+1)(k−2)<0 k∊(−1,2) x₁*x₂>0

−k
	>0 i k≠2
k−2

(−k)(k−2)>0 k∊(0,2) Suma rozwiązan to

	1
k∊(0,		]U[1,2] bo jest k=2 dla liniowej więc bedzie przedział domknięty
	5

B) |x₁|+|x₂|≤1 (|x₁|+|x₂|)²=|x₁|²+2|x₁*x₂|+|x₂|²= x₁²+x₂²+2|x₁*x₂| x₁²+x₂²= (x₁+x₂)²−2x₁*x₂ |x₁|+|x₂|=(x₁+x₂)²−2x₁*x₂+2|x₁*x₂| Dla x₁*x₂ ≥0 |x₁*x₂|= x₁*x₂ |x₁|+x₂|≤1 (x₁+x₂)²−2x₁x−2+2x₁x₂≤1 (x₁+x−2)²≤1

	k+1
(		)2≤1
	k−2

(k+1)2
	≤1
(k−2)2

(k+1)²≤(k−2)² k²+2k+1≤k²−4k+4

	1		1
6k≤3 k≤		k∊(−∞,		]
	2		2

Dla x₁x₂<0 |x₁*x−2|=−(x₁*x−2 ) |x₁|+|x₂|= (x₁+x₂)²−2x₁x₂−2x_x2≤1 (x₁+x₂)²−4x₁*x₂≤1

	k+1)2		4k
(		+		≤1
	(k−2)2		k−2

(k+1)2+4k(k−2)
	≤1/*(k−2)2
(k−2)2

k²+2k+1+4k²−8k≤k²−4k+4 4k²−2k−3≤0 Δ=4+48=52=4*13 √52=2√13

	2−2√13		2(1−√13		1−√13
k1=		=		=		≈−0,65
	8		8		4

	1+√13
k2=		≈3,85
	4

	1−√13		1+√13
k∊[		,
	4		4

	1		1+√13
Rozwiązanie tej nierownosci jest spełnione dla k∊[		,		]
	2		4

W: Do A) W zbiorze rozwiązanie jest natomiast takie

	1
k∊(0,		]U(1,2]
	5

czemu dali otwarty przy skoro jest ≥0?