indukcja in:

	a+b
wykazać (an + bn)/2 ≥ (		)n
	2

in: metodą indukcji, a,b ∊ R, a+b > 0

in: ?

in: dobra math.stackexchange pomogło

jc: 0 ≤ (aⁿ − bⁿ)(a−b) + ab(aⁿ⁻¹ + bⁿ⁻¹) ab(aⁿ⁻¹+ bⁿ⁻¹) ≤ aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ (aⁿ + bⁿ)(a+b) = ab(aⁿ⁻¹+ bⁿ⁻¹) + aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ ≤ 2(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) inaczej

an+1+bn+1		an+bn		a+b		a+b
	≥		*		≥ (		)n+1
2		2		a		2

ostatnia nierówność wynika z założenia indukcyjnego i w tym właśnie miejscu korzystamy z tego, że a+b ≥0.

młodziutki: To indukcją: To dla n =1. Oczywisty Dalej zakładamy, że dla n = k jest prawdziwe, wtedy musimy udowodnić, że dla n = k+1 też (a^k+1+b^k+1)/2 ≥ (^a+b₂)^k+1 (a^k+1+b^k+1)/2 ≥ (^a+b₂)^k * ^a+b₂ Z założenia: (a^k+1+b^k+1)/2 ≥ (a^k+b^k)/2 * ^a+b₂ 2*(a^k+1+b^k+1) ≥ (a^k + b^k)(a+b) a^k+1+b^k+1 ≥ a^kb + b^ka a^k(a−b) − b^k(a−b) ≥0 (a−b)(a^k−b^k) ≥0 (a−b)²(a^k−1+ a^k−2b + ... + b^k−2a + b^k−1)≥0 c.k.d

jc: Oj, w pierwszej linii coś się dopisało. Przy okazji, tam też potrzebujemy założenia, że liczby a, b są nieujemne. Jeśli a ≥ b, to aⁿ ≥ bⁿ i (a−b)(aⁿ−bⁿ) Jeśli jest odwrotnie, to oba nawiasy są ujemne i iloczyn jest dodatni. Dziwne, u młodziutkiego to kończy dowód, a przecież mamy wykazać, coś innego.

:: jc u Ciebie to w ogóle nie wiadomo skąd to wynika