ciąg zbieżny q: Wykaż, że ciąg a₁ = 2 a_n+1 = 1/2 (a_n + 1/a_n ) jest zbieżny Mam problem z wykazaniem że jest malejący, wykazałem że a_n jest z przedziału <1,2>

q: próbowałem podejść do tego tak f(t) = 1/2 t + 1/(2t) , ale wychodzi że w tym przedziale jest rosnąca...

q: a dobra można do tego podejść tak że t dąży od +oo do 1?

jc:

	(√2 + 1)2n + (√2 − 1)2n
an+1 =		* √2
	(√2 + 1)2n − (√2 − 1)2n

i chyba jest jasne, co się dzieje.

wredulus_pospolitus:

	1		1
an+1 =		(an +		)
	2		an

0. korzystam z tego, że wykazałeś: a_n > 1 1. wykażemy, że a_n > a_n+1 (a_n² − 1) > 0 a_n² > 1 2a_n² > a_n² + 1

	1
2an > an +
	an

	1		1
an >		(an +		) = an+1
	2		an

c.n.w. czyli ciąg {a_n} jest ciągiem malejącym, o wyrazach w przedziale <1;2>. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest ciągiem zbieżnym do granicy g (na mocy tw. ... tu wpisujesz jakie to twierdzenie).

6latek : Bedzie to potrzebne do badania zbieżnosci szeregów ? Znam tylko dwa kryteria badania zbieżnosci szeregów ze szkoły średniej Jesli tak to sobie zapisze to dziękuje .

jc: To starożytny Babiloński (najlepszy?) przepis na obliczanie pierwiastka.

q: hmm w sumie mógłbyś rozpisać jeszcze jak wykazać a_n > 1? Nie wiem czy z indukcji wprost to wynika

q: po prostu szacowanie w indukcji i tyle co nie?

jc: Oj, bzdury napisałem. Wynik jest jeszcze ładniejszy:

	32n + 1
an+1 =
	32n −1

wredulus_pospolitus: Czemu ja mam pokazać skoro napisałeś że Ty udowodniłeś 0. a_n > 0 (jako suma dwóch liczb dodatnich, będzie liczbą dodatnią)

	1		1		1
an+1 =		(an +		) ≥		* 2 = 1
	2		an		2

wykazanie (bardzo popularnej) nierówności:

	1		1
an +		≥ 2 −−−−> (an − 1)2 ≥ 0 ⇒ an2 + 1 ≥ 2an ⇒ an +		≥ 2
	an		an

c.n.w.

q: pytanie co do tego że możemy opuścić równość a_n ≥ 1 a a_n > 1

wredulus_pospolitus: nie powinniśmy ... natomiast dla a_n = 1 mamy a_n+1 = a_n = 1 czyli ciąg a_n przechodzi ciąg stały