dyskretna 123: Ile jest 9−cyfrowych liczb utworzonych z cyfr z multizbioru {1, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8}?

Mila: Masz 10 cyfr w multi zbiorze. Rozważ przypadki gdy zabierasz jedną cyfrę i liczysz ile jest permutacji z powtórzeniami.

wredulus_pospolitus: chciałbym podać taką tezę: będzie ich dokładnie tyle samo co 10−cyfrowych liczb utworzonych z wszystkich tych cyfr.

123: własnie tak podejrzewałem, tylko nie jestem pewien

123: mógłbyś mnie w tym upewnić

Mila: Zgadza się. Policzyłam dwoma sposobami.

123: Mogłabyś to uzasadnić?

Mila: 1) wg tego co pisałam20:18

9!		3*9!		9!
	+		+		=
24		3!*(2!)2		3!*(2!)3

	1		1		1		10		10!
=9!*(		+		+		)=9!*		=
	16		8		48		48		48

2) wg tezy Wredulusa

10!		10!
	=		=75600
3!*(2!)3		48

wredulus_pospolitus: uzasadnienie −−− jako, że cyfry nie są 'rozróżnialne' to każdą 9−cio cyfrową liczbę można ułożyć na dokładnie jeden sposób i po ułożeniu jej zostanie wtedy jedna i 'ta sama' cyfra. Dorzucenie jej 'na początek' da nam liczbę 10−cyfrową. I możemy tak zrobić dla każdej 9−cio cyfrówki. Innymi słowy − każdej 9−cio cyfrowej liczbie ułożonej z tych cyfr możemy przypisać dokładnie jedną 10−cio cyfrową liczbę ułożoną z tych cyfr.

wredulus_pospolitus: rozumowanie w drugą stronę jest analogiczne (tylko po prostu z liczby 10−cyfrowej 'usuwamy' pierwszą cyfrę)

123: mógłbyś to na chłopski rozum wyjaśnić?

Mila: 1) usuwam cyfrę 1 pozostają {1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8} Liczba możliwych liczb:

9!
	− permutacja z powtórzeniami
2!*2!*2!*2!

2) Usuwam 2 pozostają: {1, 1, 1, 2, 4, 4, 6, 6, 8} Liczba mozliwych liczb:

9!
	podobnie będzie gdy usunę 4 lub 6
3!*2!*2!

stąd drugi składnik−wzór :

3*9!
3!*2!*2!

dalej wiadomo?

wredulus_pospolitus: 1. Każdą liczbę 9−cio cyfrową jaką można ułożyć, można ułożyć tylko na jeden sposób. Np. 112244668 tylko w taki sposób można ułożyć, bo te same cyfry są nierozróżnialne, więc nie można 'podmienić' przykładowo cyfry '1' ze sobą. I każda ta 9−cyfrowa liczba ma jedną cyfrę 'nie wybraną' którą możemy dopisać, w ten sposób uzyskując liczbę 10−cio cyfrową. 1112244668 Więc każdej utworzonej liczbie 9cio cyfrowej możemy dopisać dokładnie jedną unikalną liczbę 10−cio cyfrową. Więc liczb 10cio cyfrowych (możliwych do ułożenia) jest nie mniej niż tych 9−cio cyfrowych. Teraz w drugą stronę. Możemy stworzyć x liczb 10−cio cyfrowych wykorzystując te cyfry. Teraz dla każdej z tych liczb 'odrzućmy' pierwszą cyfrę. Tak uzyskamy unikalną liczbę 9−cio cyfrową. Stąd −−− możliwych do ułożenia liczb 9−cio cyfrowych jest nie mniej niż tych 10−cio cyfrowych. skoro mamy: liczb₁₀ ≥ liczb₉ oraz liczb₁₀ ≤ liczb₉ to znaczy, że liczb₁₀ = liczb₉

wredulus_pospolitus: szczerze mówiąc ... to trudno mi to inaczej wyjaśnić, dlaczego ich będzie tyle samo.

123: Rozumiem, dziękuję Twoje rozumowanie Mila rozumiałem i tak miałem robić na pierwszy rzut oka, ale też dziękuję