zadanie tomaszekuu: Wyznacz wszystkie pary (x,y) dodatnich liczb całkowitych, dla których x² = y⁴ + y² + y + 1. Jak to zrobić analizując przebieg obu funkcji i jak to uzasadnić ?

wredulus_pospolitus: A co Ci badanie przebiegu funkcji i jakiej dokładnie funkcji przebieg chcesz badać?

tomaszekuu: funkcji x² i y⁴ + y² + y+1, żeby uzasadnić że nie mają lub mają miejsce przecięcia w zależności od tego jak szybko rosną, może bredzę jeśli tak to prostujcie mnie od razu dopiero się uczę

wredulus_pospolitus: pokaż pierwsze kroki które chcesz wykonać ... bo nie wiem czy dobrze Ciebie rozumiem

tomaszekuu: I chcę udowodnić teraz, że dla pierwszej funkcji np x=1 mamy y = 1 i dla drugiej funkcji x=1 mamy y = 4, i chcę udowodnić, że po prostu odległość między kolejnymi dwoma punktami będzie rosła, więc się nie przetną

ABC: skąd masz to zadanie, bo nie chce mi się aktualnych konkursów sprawdzać

tomaszekuu: https://omj.edu.pl/uploads/attachments/kwadrat-20_p471.pdf

ABC: ok nie jesteś złodziejem zauważ że (2,1) jest rozwiązaniem udowodnij że innych rozwiązań nie ma , metodą podaną w tej gazetce

Mila: x² = y⁴ + y² + y + 1 x>0,y>0 1) y⁴ + y² −x²+ y + 1=0 y⁴+y²+y+1−x²=0 y⁴+(y−x)(y+x)+y+1=0 y<x, x>1 2) x=√y⁴+y²+y+1 x=2 , to tylko y=1 może nam pasować (2,1) ?

ABC: dobra może kogoś zainteresowało to zadanie więc taki szkicowy szkic dowodu że innych rozwiązań nie ma pomiędzy liczbami (y²)² =y⁴ i (y²+1)²=y⁴+2y²+1 nie ma żadnego kwadratu , bo to kwadraty dwóch kolejnych liczb ale zachodzi dla dodatnich całkowitych y nierówność y⁴<y⁴+y²+y+1≤y⁴+2y²+1 i dodatkowo w drugiej nierówności równość zachodzi tylko gdy y²=y czyli (przy dodatnim y) dla y=1