Granice ciągów, punkt skupienia Olga: Punktem skupienia ciągu może być tylko liczba, prawda? Tzn jeśli podzielę ciąg na dwa podciągi, których granica wynosi nieskończoność to nie znaczy że to są ich punkty skupienia i z racji, że są takie same główny ciąg też ma granicę nieskończoność?

Fałszywy 6-latek: nie tylko liczba , nieskończoności też mogą być punktami skupienia ale jeśli jest więcej niż jeden punkt skupienia to granica nie istnieje na przykład ciąg : 1,−1,2,−2,3,−3 ....

Fałszywy 6-latek: natomiast niestety gdy chcesz pokazać że granica istnieje to KAŻDY podciąg musi zbiegać do tej samej granicy (dwa nie wystarczą)

Olga: Dziękuję bardzo!

wredulus_pospolitus: trudno nazwać '∞' "punktem" i wyznaczyć 'otoczenie' wokół ∞

wredulus_pospolitus: Dlatego też, nie mogę się zgodzić z tym że +∞ i −∞ można nazwać "punktami skupienia" jakiś ciągów. Chyba że wtedy inaczej zapiszemy definicję punktu skupienia.

Olga: A jeszcze dla pewności − bo pisałeś tam o każdym podciągu − jeśli ten główny ciąg podzielę na wyrazy nieparzyste i parzyste − czyli te dwa utworzą cały ciąg − to wystarczy wykazać, że oba zbiegają do nieskończoności?

Olga: Hmm.. @werdulus_pospolitus − też tak rozkminiałam właśnie na podstawie definicji. Z drugiej strony jednak nie ma wyraźnie zapisane, że granicą podciągów nie może być nieskończoność?

wredulus_pospolitus: @Olga −−− z 'ludzkiego punktu widzenia' tak ... z 'matematycznego punktu widzenia' nie Dlatego dowodzenie, że ciąg jest zbieżny do granicy g lub rozbieżny do +/−∞ wykonujemy poprzez odwołanie się do Tw. Cauchiego. Natoiast dowodzenie, że ciąg nie posiada granicy wykonujemy poprzez odwołanie się do Tw. Heinego.

wredulus_pospolitus: @Olga −−− ja nie twierdzę, że podciągi nie mogą być ROZBIEŻNE do ±∞. Zauważ, że jest tu gra słów ... poprawnie mówiący profesor nie powie Ci, że ciąg o wzorze ogólnym a_n = n ma granicę +∞, tylko powie, że ciąg o takim wzorze ogólnym jest ROZBIEŻNY do +∞.

wredulus_pospolitus: Natomiast studenci po kole jak będą porównywać wyniki powiedzą: "a w szóstym wyszła mi granica +∞" i każdy to zrozumie.