Kiedy równanie 4^x + m*2^x +3 - m =0 ma 1 rozwiazanie. Monika: Kiedy równanie 4^x + m*2^x +3 − m =0 ma jedno rozwiązanie. Wprowadziłam pomocniczą niewiadomą t, wyliczyłam deltę, przyrównałam ją do zera. Otrzymałam m= − 6 (sprzeczność) lub m= 2. Powróciłam do podstawienia 2^x = t i zapisałam 2^x= 2, więc otrzymałam x= 1. Czy dobra jest odpowiedź, że dla m=2 jest jedno rozwiązanie x=1? Nurtuje mnie jeszcze, czy w tym zadaniu mam przywołać wzory Viete'a ?

wredulus_pospolitus: mocno skrótowo objaśniasz co zrobiłaś

wredulus_pospolitus: 1. podstawienie: t = 2^x ; t > 0 2. t² + mt + (3−m) = 0 to równanie chcemy aby miało jedno rozwiązanie (t − a)² = 0 bądź miało dwa rozwiązania, gdzie jedno jest liczbą dodatnią, a drugie nie jest liczbą dodatnią Ty policzyłaś Δ = m² − 4(3−m)² = (m − 2(3−m))(m+2(3−m)) = (3m − 6)(6 − m) i zapisałaś Δ = 0 ⇔ m = 2 ∨ m = −6 (i nie wiem dlaczego tutaj dajesz, że jest to sprzeczne). Zauważ, że dla m = −6 mamy: t² − 6t + 9 = (t−3)² = 0 −−> t = 3 −−−> 2^x = 3 −−−> x = log₂3

wredulus_pospolitus: tak więc ... nie dość że nie zrobiłaś w pełni tego zadania, to jeszcze to co zrobiłaś, zrobiłaś błędnie. A co do części której nie zrobiłaś −−− właśnie tutaj wzoru Viete'a można wykorzystać (ułatwia sprawę). I kolejna sprawa −−− kompletnie nie rozumiem tego: "i zapisałam 2x= 2, więc otrzymałam x= 1" dlaczego? po co?

ite: Jeśli wprowadzasz zmienną pomocniczą t, to musisz dodać warunek t>0. W mojej wersji (rozbijanie na przypadki, ale tutaj nie będzie ich tak wiele, jak poprzednio): − rozwiązujemy równanie kwadratowe ze zmienną pomocniczą, − wracamy do 2^x ALE bierzemy pod uwagę tylko dwie możliwości: 1/ równanie ze zmienną pomocniczą ma jedno rozwiązanie dodatnie 2/ równanie ze zmienną pomocniczą ma dwa rozwiązanie, ale tylko jedno z nich jest dodatnie. To wzory Viete'a nie są takie ważne (Adamm pokazał, że można sobie poradzić bez nich). Chodzi o to, żeby czuć po co i jak korzystamy ze zmiennej pomocniczej.

Monika: wredulus pospolitus oraz Ite: Dziękuję za Wasze cenne wskazówki. Tak, nie dopisałam, że t>0 − pierwszy błąd Niepotrzebnie wykluczyłam m= − 6, co wredulus mi powyżej wyjaśnił. Teraz skorzystałam z Viete'a na iloczyn, żeby c / a < 0, co zagwarantuje mi 1 rozwiązanie dodatnie. Mam wyniki z delty m=2, m= −6 oraz z Viete'a m>3. To jaka będzie ostateczna odpowiedź ? Znowu jestem w czarnej dziurze

. : Jedna uwaga − − > jeszcze zapomniałaś o sytuacji: t₁*t₂=0, t₁+t₂>0 czyli jedno rozwiązanie równe 0, drugie dodatnie.

. : Mamy tak: Jedno rozwiązanie będzie miało to rownanie jezeli: Po podstawieniu mamy: 1. Δ = 0 i t>0 2. Δ > 0 i t₁*t₂ < 0 3. Δ > 0 i t₁*t₂ = 0 i t₁+t₂ > 0 Sumujesz zbiory otrzymane dla każdego z tych przypadków.

Monika: . : Ale chyba nie muszę stosować obu wzorów Viete'a, bo iloczyn c/a <0 mi załatwi 1 rozw. dodatnie.

Monika: . : Ten 3 punkt u Ciebie mnie przeraża, bo kojarzy mi się z 2 pierwiastkami jeden to 0, a drugi dodatni

Monika: Jeszcze intensywnie myślę, czy konieczne jest założenie, że to ma być 1 rozwiązanie dodatnie. Bo dla każdego x liczba 2^x jest dodatnia.

6latek: Podobnie myślałem przy poprzednim zadanie czy konieczne jest to założenie . Przeczytałem wczoraj w innej książce ze tak . Konieczne . Funkcja rozwiązujaca musi mieć jedno rozwiązanie dodatnie

Monika: 6latek − no tak, racja. Dziękuję Wam za wszystkie cenne wskazówki. Wezmę sobie je do głowy i zapamiętam na przyszłość. Pozdrawiam serdecznie.