Nierówności miedzy średnimi Oliwia i Antek : Wykorzystując nierówość pomiędzy średnimi znajdz 1) Największą wartość funkcji f(x)=2x/(x²+1) i x ∊R 2) Największą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=x/(ax²+b) gdzie a,b ∊R 3) Najmniejszą wartość funkcji f(x)=x³+(48/x) gdzie x∊R 4) Największa wartość funkcji f:(0,1)→R i f(x)=x⁴−x⁶ Wiem tylko że srednia arytmetyczna ≥średniej geometrycznej ≥śreedniej harmonicznej Ale jak i jakie w tych zadaniach to nie bardzo wiem

Oliwia i Antek :

ite:

	48
3) Znajdź najmniejszą wartość funkcji f(x)=x3+		gdzie x∊R ? ?
	x

Coś nie tak z treścią!

	48
Jeśli x∊ℛ\{0} to limx→−∞(x3+		) = −∞, najmniejsza wartość funkcji nie istnieje.
	x

	48		16		16		16
Jeżeli x∊ℛ+, wtedy można zapisać f(x) = x3+		= x3+		+		+
	x		x		x		x

i dla tej postaci skorzystać z nierówności między średnią i geometryczną, określając najmniejszą wartość funkcji dla argumentów rzeczywistych dodatnich.

Oliwia i Antek : tak masz racje jest R₊ Strasznie malutkie te literki Prosze wytłumacz dlaczego te 48 rozpisane na trzy po 16? Ja naprawde tego nie czaję Możesz rozpisać co dalej ? dziękuje

ite: − trzeba policzyć średnią arytmetyczną tej sumy czterech składników oraz jej średnią geometryczną

x3+(16/x)+(16/x)+(16/x)
	≥4√x3*(16/x)*(16/x)*(16/x)
4

− uprościć to wyrażenie

x3+(48/x)
	≥4√16*16*16
4

spróbujcie dokończyć

Oliwia i Antek : Dziękuję za cięzka pracę. To jednak nie dla mnie . Może w toku dalszej nauki załapie

Mila: 1) Dla dwóch składników: a,b∊R₊

a+b
	≥√a*b
2

2) dla 4 dodatnich składników:

a+b+c+d
	≥4√a*b*c*d
4

	48
ite zapisała sumę x3+		w postaci sumy 4 składników i wyszło to, co miało wyjść.
	x

Oliwia i Antek : Milu ma byc ze najmniejsza wartośc to 32 Zastosowac te nierówności co piszesz Ty i ite Tylko jak z tego wyliczyc te 32 ?

Mila: Zadanie 1) x>0

2x		2
	=
x2+1		1   x+   x

	1
x+		≥2 to możesz łatwo wykazać,
	x

zatem wartość ułamka

2
	≤1 , czyli największa wartość to 1
1   x+   x

Mila: 3)

16   16   16   x3+ + +   x   x   x
	≥4√x3*(16/x)*(16/x)*(16/x))⇔
4

	48
x3+		≥4*4√163=4*4√212=4*23=32
	x

Oliwia i Antek : Milu dziękuje za ciężka prace