Wykaż Krzysiek: Wykazac że jeżeli 1) a³+pa+q=0 2) b³+pb+q=0 3) c³+pc+q=0 gdzie a≠b, b≠c i a≠c to a+b+c=0

. : Zauważ że te warunki można przekształcić w taką postać: Jeżeli rownanie x³ + px + q = 0 ma trzy różne rozwiązania to suma tych rozwiazan jest równa 0. Nastepnym krokiem powinno być wykazanie że jedna z tych rozwiazan będzie x₁ = 0.

ite: A nie lepiej przejść do wzorów Viete'a? Jeśli jest tak, jak piszesz o 11:03, że jednym z rozwiązań jest 0, to q musiałoby być równe 0.

chichi: bez urazy, ale powinieneś zmienić pozycje na coś prostszego

Krzysiek: chichi Ja nie czuję się obrażony ani urażony bo i po co Tak jak piszesz zadanie oznaczone jest w zbiorze zadań jako trudne. Jedyna wskazówka do tego zadania jest taka żeby wykorzystać wzory skróconego mnożenia Po bardzo długim namyśle doszedłem do takiego wniosku że jedynie można zrobić tak jeśli np doda się do siebie dwa równania lub lub się od siebie odejmie bo wtedy albo mam x³+y³ lub x³−y³ Dodaję pierwsze do drugiego a³+b³+pa+pb+2q=0 nie bardzo bo zostaje q Teraz odejmę pierwsze od drugiego a³−b³+pa−pb=0 (a−b)(a²+ab+b²)+p(a−b)=0 /stronami podzielę przez (a−b) bo a−b≠0 a²+ab+b²+p=0 ================== Teraz odejmę pierwsza od trzeciej a³−c³+pa−pc=0 (a−c)(a²+ac+c²)+p(a−c)=0 a²+ac+c²+p=0 ============== Jeśli odejmę od siebie te dwie równości pozbędę się a² (no zobaczymy co wyjdzie a²+ab+b²+p−(a²+ac+c²+p)=0 ab−ac+b²−c²=0 a(b−c)+(b−c)(b+c)=0 / dzielę stronami przez b−c −moge bo b≠c a+b+c=0 więc wyszło Kużwa naprawdę trudne ite pisałas coś o wzorach Viete'a Jak by to tu zastosowac ?

ite: Wzory Viete'a dla równań trzeciego stopnia, chodziło mi o wzór na sumę.

Krzysiek: Dzień dobry To mam

	b
x1+x2+x3=−
	a

	c
x1*x2+x1*x3+x2*x3=
	a

mam równanie postaci x³+px+q=0 więc u mnie b=0 stąd x₁+x₂+x₃=0 Możesz napisać co dalej ?

ABC: x³+px+q=(x−a)(x−b)(x−c) i porównaj współczynniki przy x² po obu stronach

Krzysiek: Witaj dla prawej strony bedzie −ax²−bx²−cx²= x²(−a−b−c) Dla lewqej strony przy x² jest 0 −a−b−c=0 −(a+b+c)=0 Równośc ta zachodzi ⇔gdy a+b+c=0 O to chodziło?

ABC: tak

Krzysiek: Dobrze. Dziękuje