Wyznacz rząd macierzy w zależności od parametru a gosciu: Wyznacz rząd macierzy w zależności od parametru a: |a −a 0 1| |−1 1 0 −a| |−3 3 a 0| | 0 0 0 a| Próbowałem najpierw obliczyć wyznacznik tej macierzy: |1 0 −a| |−1 0 −a| |−1 0 −a| |−1 1 0| a* |3 a 0| −(−a)* |−3 a 0| +0* |−3 3 0| −1* |−3 3 a| |0 0 a| |0 0 a| | 0 0 a| |0 0 0 | Wychodzi, że: a * a² − ((−a)*(−a²)) = a³ − a³ = 0 Proszę o pomoc

. : Ale co Ty tu właściwie liczysz?

. : Fakt że wyznacznik jest równy 0 co Ci daje?

ABC: wie że rząd macierzy nie może być równy 4 niezależnie od wartości a, jeśli się w rachunkach nie pomylił ale nie podobają mi się jego rachunki

wredulus_pospolitus:

	⎧	a −a 0 1
	⎜	−1 1 0 −a
rzA = rz	⎨	−3 3 a 0	=
	⎩	0 0 0 a

// w₃ = w₃ − 3w₂//

	⎧	a −a 0 1
	⎜	−1 1 0 −a
= rz	⎨	0 0 a 3a	=
	⎩	0 0 0 a

// w₃ = w₃ − 3w₄ oraz w₂ = w₂ + w₄ //

	⎧	a −a 0 1
	⎜	−1 1 0 0
= rz	⎨	0 0 a 0	=
	⎩	0 0 0 a

// zał. a≠0 ; w₁ = w₁ + a*w₂//

	⎧	0 0 0 1
	⎜	−1 1 0 0
= rz	⎨	0 0 a 0	=
	⎩	0 0 0 a

// w₄ = w₄ − a*w₁ //

	⎧	0 0 0 1
	⎜	−1 1 0 0
= rz	⎨	0 0 a 0
	⎩	0 0 0 0

i chyba taka postać już wystarczy. Z niej mamy: dla a≠0 rzA ≤ 3 i szybko możesz pokazać, że wtedy rzA = 3 dla a = 0 wracamy do wyjściowej macierzy i od razu widzimy, że w₄ będzie 'zerowy' natomiast w₃ = 3*w₂ ... więc rzA ≤ 2 ... i faktycznie będzie rzA = 2

wredulus_pospolitus: rachunki miał dobre ... ale podejście do problemu mi się nie podoba, ponieważ nie jest to informacja której nie mógł otrzymać w inny sposób, w sposób który przedstawiłem, a jednocześnie w sposób który przybliży go do samego rozwiązania. Innymi słowy − policzenie wyznacznika macierzy 4x4 w ten sposób było (moim zdaniem) stratą czasu.

wredulus_pospolitus: cholera ... w sumie to założenie, że a ≠ 0 jest zbyteczne chociaż spodziewam się, że ktoś by się przyczepił wtedy do 'spójności oznaczeń'

wredulus_pospolitus: a do autora −−− popełniłem mały błąd przy przepisywaniu ... szczęsliwie nie miało to znaczenia przy liczeniu wyznacznika. |−1 1 0| 0*|−3 3 0| |0 0 a|

gosciu: dziękuję wam pięknie za pomoc

gosciu: Jeszcze mam takie pytanie, bo chciałem to zrobić za pomocą szukania minorów. Wiedziałem, po wyliczeniu wyznacznika, że rząd macierzy nie może być równy 4, dlatego próbowałem znaleźć minor stopnia 3. Po usunięciu 2 kolumny i ostatniego wiersza wychodzi macierz: |a 0 1| a 0 |−1 0 −a| −1 0 |−3 a 0| −3 a Wyznacznik jego jest równy: −a − (−a³) = a³ − a = a(a² − 1) = a(a − 1)(a + 1) a(a−1)(a+1) ≠ 0 Czy dla: a ≠ 0 ∧ a ≠ 1 ⋀ a ≠ −1 rząd tej macierzy wynosi 3?

ABC: tak, ale niekoniecznie tylko dla takich a , bo na przykład dla a=1 jakiś inny minor 3x3 może być różny od zera

. : Tak. Ale takie podejście do tematu nie jest zbyt optymalnym, Zauważ że musisz w ten sposób policzyć do 16 wyznacznik ów macierzy 3x3, a następnie przejść do wyznacznikow macierzy 2x2. Gdyby to zadanie było na kolokwium bądź egzaminie poprawkowy to jeszcze trzeba dorzucić 'stres', w efekcie stracisz za dużo czasu na zadanie które można zrobić w 5 minut. Zauważ do jakiej macierzy doszedłem po paru przekształceniach, nagle jakiekolwiek obliczenia wyznacznikow stały się niezwykle proste (więc i trudniej o pomyłkę)

Mariusz: Gościu sposób którego chciałeś użyć jest poprawny niemniej jednak jest bardziej złożony czasowo Jeżeli dobrze pamiętam to na algebrze podczas wprowadzania pojęcia rzędu stosowano właśnie ten sposób do jego obliczania Stosowałeś rozwinięcie Laplace tylko mogłeś tak dobrać wiersz albo kolumnę aby mieć mniej liczenia Przykładowo w wyznaczniku z 3 wrz 2023 14:41 lepiej rozwijać względem ostatniego wiersza bądź trzeciej kolumny Jeżeli wybierzesz obydwie możliwości łatwo zejdziesz ze stopniem do 2 To samo z wyznacznikiem z 3 wrz 2023 16:50 mogłeś rozwijać względem drugiej kolumny