Równanie Sowa: Potęga o dowolnym wykładniku wymiernym Sprawdz że równanie x^y=y^x jest spełnione przez liczby

	1
x=(1+		)k
	k

	1
y=(1+		)k+1 gdzie k oznacza dowolna liczbe naturalną
	k

Maciess: Generalnie w zadaniu chodzi o to, żebys pod x i y podstawił to co ci podali (wyrazenia z k). W wyniku jakis przekształcen powinienes otrzymac rownosc, tj lewa strona równa prawej. Czy sprobowałes tak to zrobic i tutaj gdzies napotykasz problem? Jesli tak to wstaw obliczenia

Sowa: Powiem szczerze nie wiem jak to policzyć

Maciess: Ale w którym miejscu napotykasz problem? Czy masz podstawione wartosci do równania i problem jest w przekształceniach? Jesli tak to niestety trzeba sie troche cofnąc i pocwiczyc proste operacje na potęgach. No czarodziejem nie jestem, a wrzucanie tego rozwiązania troche mija się z celem. Wrzuc fotke obliczeń to postaram się pomoc

wredulus_pospolitus: a = (1 + 1/k) wtedy: x = a^k y = a^k+1 x^y = y^x −−−> log_a (a^k)^y = log_a (a^k+1)^x −−−> k*y = (k+1)*x −−−>

	ak+1		k+1		1
−−−> k*ak+1 = (k+1)*ak −−−>		=		−−−> a = 1 +
	ak		k		k

więc teraz piszemy 'od końca do początku' dopisując wszelkie twierdzenia z których korzystamy po drodze ... i mamy dowód

Sowa: Wredulus . Jeszce nie miałem funkcji wykładniczej i logarytmicznej (ale bardzo dziękuje pózniej się przyda) Maciess . Tak . problem polega na przekształceniu . (a+b)²= wiem (a+b)³= wiem (a+b)⁴= wiem (a+b)⁵= wiem Natomiast jeśli mam do potęgi (k) to nie bardzo wiem jak to napisać Pojęcie o potęgowaniu mam Może chociaż zaczniesz to x^y

wredulus_pospolitus: to zauważ, że: y = x*a oraz oczywiście x = a^k ; y = a*a^k x^y = x^x*a = a^k*ak*a y^x = (a*x)^x = a^x * x^x = a^ak * a^k*ak = a^{ak(1 + k)}

	1
zauważmy, że: k * a = k * (1 +		) = k+1
	k

c.n.w. zrobiłem małe przeskoki przy korzystaniu z własności potęg: (a^b)^c = a^b*c a^b * a^c = a^b+c mam nadzieję, że sobie poradzisz przy analizowaniu rozwiązania

wredulus_pospolitus: można też 'na chama' bez podstawiania ... ale ja jestem zbyt leniwy, żeby się bawić w takie ciapcianie się zapisami.

	k+1
Jeżeli jednak tak chcesz zrobić to tylko zasugeruję (1 + 1/k) zapisać jako		i na tym
	k

działać.

Sowa: Dziękuje na razie Będe próbował ,

	k+1		(k+1)k
Wtedy (		)k=
	k		kk

Zobacze czy to sie przyda . Jeszce raz dzięki