równanie kikis: Rozwiąż równanie x⁴+(x+2)⁴=34 dla x∊ℛ

Love between fairy and devil: (a+b)⁴= a⁴+4a³*b+6a²*b²+4a*b³+b⁴ więc (x+2)⁴=x⁴+8x³+24x²+16 Rozwiązuj dalej

kikis: Do tego sam doszedłem Rozwiąż dalej

Love between fairy and devil: Ma być tak (x+2)⁴= x⁴ +4x³*2 +6*x²*2² +4*x*2³+2⁴ (x+2)⁴=x⁴+8x³+24x²+32x+16 Zgubiłem poprzednio 32x

Love between fairy and devil: To gdzie napotykasz aż tak duży problem?

wredulus_pospolitus: wprowadźmy nową zmienną: a = x+1 równanie wtedy ma postać: (a−1)⁴ + (a+1)⁴ = 34 i albo jedziemy tak jak chcieliście: 2(a⁴ + 6a² + 1) = 34 −−> a⁴ + 6a² + 9 = 25 −−> (a² + 3)² = 5² −−> a²+3 = ±5 −−> a² = lub a² = i dalej rozwiązujesz

wredulus_pospolitus: inny sposób: b⁴ + c⁴ = (b² + c²)² − 2(bc)² = ( (b+c)² − 2bc)² − 2(bc)² więc mamy (znowu dla ułatwienia podstawiam a = x+1) ( (a+1 + a−1)² − 2(a+1)(a−1) )² − 2((a+1)(a−1))² = 34 ( 4a² − 2a² + 2)² − 2(a²−1)² = 34 4(a² + 1)² − 2(a²−1)² = 34 2a⁴ +12a² + 2 = 34 −−−> a⁴ + 6a² + 1 = 17 −−> a⁴ + 6a² + 9 = 25 i mamy dokładnie to samo równanie

wredulus_pospolitus: Czasem warto trochę pokombinować, żeby się nie napracować zbytnio

mat: sprytne podstawienie!

Susu: Witam Nie rozwiązywałem dużo takich równań wiec nie wpadłbym na taki pomysł jak Ty to zrobiłeś Pewnie napracowałbym się dużo więcej bo doprowadziłbym do postaci 2x⁴+8x³+24x²+32x−18=0 Sprawdziłbym czy są pierwiastki całkowite lub wymierne Jesli nie ma to wtedy dziele rownanie przez wspolczynnik stojący przy x⁴ x⁴+4x³+12x²+16x−9=0 Teraz podstawienie

	b
x=z−
	4a

	4
x=z−		=z−1 i modlił sie żeby otrzymac z tego rownanie dwukwadratowe
	4

Jeśli nie to niestety więcej liczenia

wredulus_pospolitus: Tak naprawdę −−− gdybym to rozwiązywał, to bym leciał pierwszym (przedstawionym przeze mnie sposobem). Podstawienie a=x+1 ma na celu zredukowanie czynników przy nieparzystych potęgach ... co później pozwala (jak ktoś nie ma wprawy) na kolejne podstawienie: b = a² ... i wtedy masz już równanie kwadratowe delta i te sprawy

wredulus_pospolitus: I szczerze mówiąc ... gdybym miał równanie: 2x⁴+8x³+24x²+32x−18=0 to od razu dziele przez 2 i później szukam pierwiastków całkowitych, wszystko inne to dla mnie już by była męczarnia

Susu: Domyślam się żeby tak było Dlaczego tak bym robił ? Dlatego ze takie równania rozwiązywałem bardzo dawno temu i tak mnie nauczono wtedy Zawsze to też dobrze poznać inne sposoby

wredulus_pospolitus: jeszcze odnośnie drugiego sposobu −−− późno trochę więc nie zauważyłem, że można było się jeszcze tak zabawić: mając postać: 4(a² + 1)² − 2(a²−1)² = 34 robię podstawienie: b = a² + 1 ; b≥1 4b² − 2(b − 2)² = 34 4b² − 2b² + 4b + 4 = 34 2b² + 4b − 30 = 0 b² + 2b − 15 = 0 (b+5)(b−3) = 0 −−−> b = 3 −−−> a² = 2

wredulus_pospolitus: Jak byłem w liceum, to na szczęście nauczycielka pozwalała mi 'kombinować' Więc zawsze starałem się 'iść na łatwiznę' i jak widziałem jakieś żmudne wyliczenia to starałem się je obejść w jakiś sposób. Jedyne co, to wkurzała się na moje skróty myślowe, ale to wynikało z tego że ja pisałem starą maturę, gdzie samo rozwiązanie zadania to był pikuś (patrząc na czas) ... najwięcej czasu trwała cała opisówka połączona z wypisywaniem wzorów bądź wręcz koniecznością ich udowodnienia.

Mariusz: Sama redukcja równania czwartego stopnia nie wymaga dużo obliczeń 2x⁴+8x³+24x²+32x−18=0 x⁴+4x³+12x²+16x−9=0 (x⁴+4x³)−(−12x²−16x+9)=0 (x⁴+4x³+4x²)−(−8x²−16x+9)=0 (x²+2x)²−(−8x²−16x+9)=0

	y		y2
(x2+2x+		)2−((y−8)x2+(2y−16)x+		+9)=0
	2		4

	y2
4(		+9)(y−8)−(2y−16)2=0
	4

(y²+36)(y−8)−(y−8)(4y−32)=0 (y−8)(y²+36+4y−32)=0 (y−8)(y²+4y+4)=0 (x²+2x+4)²−(5²)=0 (x²+2x−1)(x²+2x+9)=0 Tutaj tak dobrałeś to równanie że równanie rozwiązujące trzeciego stopnia było już częściowo rozłożone i wystarczyło wyciągnąć wspólny czynnik więc metodą ogólną dla równań czwartego stopnia nie było aż tak dużo liczenia

Mila: No to męczymy się 1) 2x⁴+8x3⁺24x²+32x−18=0 /:2 x⁴+4x³+12x²+16x−9=0 w(x)=x⁴+4x⁴+4x³+12x²+16x−9, w(x) nie ma pierwiastków całkowitych 2) x³+12x²+16x−9=(x²+mx+n)*(x²+kx+p) P=x⁴+(k+m)x³+(km+n+p)x²+(kn+mp)x+np k+m=4 km+n+p=12 kn+mp=16 n*p=−9 I próba n=1, p=−9 brak rozwiązań układu warunków II próba n=−1, p=9 k=2, m=2 ========== 3) x⁴+4x⁴+4x³+12x²+16x−9=(x²+2x−1)*(x²+2x+9) x=−1±√2