geometria RobertB: Punkty E i F leżą odpowiednio na bokach AB i B C kwadratu ABCD, przy czym B E = B F. Punkt S jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą CE . Wykazać, że <) DSF = 90◦. Dałby ktoś radę zrobić używając geometrii analitycznej ? Jak tak to bardzo proszę o rozwiązanie

ogórek: Możemy założyć, że punkt B leży w początku układu współrzędnych, a bok kwadratu AB ma równanie y = 0, a bok BC ma równanie x = a (gdzie a jest długością boku kwadratu). Wtedy punkty E i F mają współrzędne odpowiednio (xE, 0) i (a, yF). Zauważmy, że punkt S to rzut punktu B na prostą CE, a zatem jego współrzędne to (xE, xE). Ponieważ punkty S, E i F leżą na jednej prostej, to musi zachodzić równość nachylenia odcinka SE do odcinka EF: (xE − a)/(xE − xE) = (yF − 0)/(a − xE) Skrócenie i uproszczenie tej równości prowadzi do: xE + yF = a Zauważmy teraz, że punkt D, będący przecięciem przekątnych kwadratu, ma współrzędne (a/2, a/2). Możemy teraz obliczyć nachylenie odcinka DS oraz nachylenie odcinka SF, a następnie sprawdzić, czy iloczyn ich nachyleń wynosi −1 (co oznaczałoby, że te odcinki są prostopadłe). Nachylenie odcinka DS wynosi: (yF − a/2)/(xE − a/2) Nachylenie odcinka SF wynosi: (yF − 0)/(a − xE) Iloczyn nachyleń wynosi zatem: ((yF − a/2)/(xE − a/2)) * ((yF − 0)/(a − xE)) = −1 Po przekształceniu otrzymujemy: yF² − (a/2)² = xE * (a − xE) Podstawiając teraz równość xE + yF = a, otrzymujemy: yF² − (a/2)² = xE * (xE − a/2) yF² − (a/2)² + xE² − xE * (a/2) = 0 Możemy teraz podstawić xE = a − yF i uporządkować: yF² − (a/2) * yF − (a/2)² + a²/4 = 0 (yF − a/2)² = 0 Stąd wynika, że yF = a/2, czyli punkt F leży na prostej przechodzącej przez środek kwadratu. Widzimy teraz, że odcinek SF jest prostopadły do boku BC kwadratu, a odcinek DS jest prostopadły do boku AB kwadratu. Ponieważ boki AB i BC są prostopadłe, to odcinki DS i SF również są prostopadłe, czyli kąt DSF ma miarę 90 stopni, co kończy dowód.