c całeczka:

	sinx
∫		dx =
	x2

całeczka: generalnie musze pokazać, że

	sinx		1
∫1∞		dx >
	x2		2

całeczka: ludzie ludzie...

www: https://pdfhost.io/v/YyNT68~Fe_63e45981e1f54d0fb34b943335f3bbd4

całeczka: dzieki za wysilek czy po "Pierszy skladnik" nie powinno tam byc jeszcze cos(1)? to ograniczenie dosc grube ci wyszlo, ta calka ktorą cchcemy oszacowac jest tak lekko większa od 0.5

minus: Aby udowodnić nierówność: ∫ ∞ 1 sin(x)/x² dx > 1/2 ∫ 1 ∞ sin(x)/x² dx > 1/2 Możemy zacząć od rozważenia funkcji f(x) = sin(x)/x². Krok 1: Pokazanie, że f(x) > 0 dla x > 0 Dla x > 0 sin(x) jest dodatni, a x² jest dodatni. Dlatego f(x) = sin(x)/x² > 0 dla x > 0. Krok 2: Ustalenie dolnej granicy dla f(x) Ponieważ f(x) = sin(x)/x² > 0 dla x > 0, możemy znaleźć dolną granicę dla f(x) biorąc pod uwagę większy mianownik. Rozważmy funkcję g(x) = sin(x)/x. Biorąc pochodną g(x) względem x: g'(x) = (x*cos(x) − grzech(x))/x² Ustawienie g'(x) = 0 w celu znalezienia punktów krytycznych: x*cos(x) − grzech(x) = 0 Ponieważ sin(x) i cos(x) są funkcjami okresowymi, to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jednak dla x > 0 pierwsze rozwiązanie występuje przy x = π, co jest minimum dla g(x). Dlatego dla x > 0 g(x) = sin(x)/x > sin(π)/π = 1/π. Ponieważ g(x) = sin(x)/x > 1/π > 0 dla x > 0, ustaliliśmy dolną granicę dla f(x). Dlatego f(x) > 1/π dla x > 0. Krok 3: Obliczenie całki Teraz zintegrujmy f(x) od 1 do ∞: ∫ ∞ 1 sin(x)/x² dx = lim (t→∞) ∫ T 1 sin(x)/x² dx Za pomocą testu porównawczego możemy porównać f(x) z funkcją 1/π. Ponieważ f(x) > 1/π dla x > 0, mamy: ∫ ∞ 1 sin(x)/x² dx > ∫ ∞ 1 1/π dx Obliczanie całki po prawej stronie: ∫ ∞ 1 1/πdx = [πx] ∞ 1 = π(∞) − π(1) = ∞ − π > 1/2 Udowodniliśmy zatem, że: ∫ ∞ 1 sin(x)/x² dx > 1/2

minus: Aby udowodnić nierówność: ∫ ∞ 1 sin(x)/x² dx > 1/2 ∫ 1 ∞ sin(x)/x² dx > 1/2 Możemy zacząć od rozważenia funkcji f(x) = sin(x)/x². Krok 1: Pokazanie, że f(x) > 0 dla x > 0 Dla x > 0 sin(x) jest dodatni, a x² jest dodatni. Dlatego f(x) = sin(x)/x² > 0 dla x > 0. Krok 2: Ustalenie dolnej granicy dla f(x) Ponieważ f(x) = sin(x)/x² > 0 dla x > 0, możemy znaleźć dolną granicę dla f(x) biorąc pod uwagę większy mianownik. Rozważmy funkcję g(x) = sin(x)/x. Biorąc pochodną g(x) względem x: g'(x) = (x*cos(x) − sin(x))/x² Ustawienie g'(x) = 0 w celu znalezienia punktów krytycznych: x*cos(x) − sin(x) = 0 Ponieważ sin(x) i cos(x) są funkcjami okresowymi, to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jednak dla x > 0 pierwsze rozwiązanie występuje przy x = π, co jest minimum dla g(x). Dlatego dla x > 0 g(x) = sin(x)/x > sin(π)/π = 1/π. Ponieważ g(x) = sin(x)/x > 1/π > 0 dla x > 0, ustaliliśmy dolną granicę dla f(x). Dlatego f(x) > 1/π dla x > 0. Krok 3: Obliczenie całki Teraz zintegrujmy f(x) od 1 do ∞: ∫ ∞ 1 sin(x)/x² dx = lim (t→∞) ∫ T 1 sin(x)/x² dx Za pomocą testu porównawczego możemy porównać f(x) z funkcją 1/π. Ponieważ f(x) > 1/π dla x > 0, mamy: ∫ ∞ 1 sin(x)/x² dx > ∫ ∞ 1 1/π dx Obliczanie całki po prawej stronie: ∫ ∞ 1 1/πdx = [πx] ∞ 1 = π(∞) − π(1) = ∞ − π > 1/2 Udowodniliśmy zatem, że: ∫ ∞ 1 sin(x)/x² dx > 1/2

ABC: "dla x>0 sin(x) jest dodatni" to chyba twój własny chat gpt, nie wierzę że oryginał jest taki głupi

: ^_^:

	sin x		sin x
0 < ∫1∞		dx < ∫1π		dx
	x2		x2