trygonometria Besz: Niech x,y∊[0,π/2) takie że tg x+ tg y= √2. Wyznacz minimalną wartość cos x+cos y.

wredulus_pospolitus: Jaki poziom nauczania? Odnośnie jakiego działu jest to zadanie?

wredulus_pospolitus: tgx + tgy = √2 tg y = √2 − tgx tg²y = (tgx − √2)²

1
	= (tgx − √2)2 − 1
cos2y

	1
cosy =
	√(tgx − √2)2 − 1

;;;;;

	1
f(x) = cosx +
	√(tgx − √2)2 − 1

f'(x) = ....

Besz: Studia, analiza. Ale może być jakiś prostszy sposób.

wredulus_pospolitus: oczywiście warto dodać założenia.

wredulus_pospolitus: poprawka −−− winno być +1 po prawej stronie

Besz: No tak ale pochodna wychodzi dość skomplikowana

Besz: I przyrównanie pochodnej do zera i wyliczenie pierwiastków, jak to zrobic?

jc: Wartość minimalną mamy na końcach. Wartość minimalna = 1+1/√3. Ale jak to uzasadnić?

Besz: Mozesz jakies szacowanie...

wredulus_pospolitus: z szacowaniem to trudno będzie tutaj. bo dla warunku tgx + tgy = √2 + 0.005 będziemy już mieli minimum wewnątrz badanego przedziału

wredulus_pospolitus: Ja bym spróbował w taki sposób: 1. pokazał, że funkcja f(x,y) = cosx + cosy dla podanego warunku jest symetryczna względem punktu dla którego:

	√2
tgx = tgy =		; x = y
	2

2. następnie policzył wartość na krańcach oraz w tym punkcie (tablice raczej będą konieczne) 3. następnie "wystarczy" pokazać, że na przedziale x∊[0 ; arctg(√2/2)) funkcja f(x) podana wcześniej nie posiada ekstremum lokalnego

jc: a = tg x, b = tg y h(a) = 1/p(a²+1) szukamy minimum funkcji f(a) = h(a) + h(√2−a) na przedziale [0, √2]. pochodna funkcji f znika tylko w jednym punkcie: f' (1/√2) = 0. Porównujemy wartości: f(0)=f(√2) = 1+ 1/√3 i f(1/√2)=√8/3 pierwsza liczba jest mniejsza

Besz: Jak policzyłeś ten punkt 1/√2?