Rownanie Riccatiego Grzegorz: Rozwiaz rownanie, wiedzac, ze jednym z jego rozwiazan jest funkcja liniowa. y' = y²−2ty+t² Blagam, pomozcie! Wiem, ze trze a pod to rownanie podstawic y=ax+b i dalej uzyc podstawienia, ale nie moge wyliczyc tych wspolczynnikow a i b. Ktos moglby mi pokazac rozwiazanie do tego momentu?

jc: y = at +b prawa strona = y²−2ty+t²=(y−t)² dla a=1, b=1 prawa strona = 1 lewa strona = 1

Min. Edukacji: https://youtu.be/P1Ji_zwOmOQ

kerajs: Siermiężniej: y=at+b ⇒ y'=a powyższe wstawia się do równania otrzymując: a=(at+b)²−2t(at+b)+t² a=t²(a²−2a+1)+t(2ab−2b)+b² Porównanie wielomianów z obu stron równania daje układ: (0=a²−2a+1) ∧ (0=2ab−2b) ∧ (a=b²) który ma dwa rozwiązania: (a=1 ∧ b=1) ∨ (a=1 ∧ b=−1)

Mariusz: Czemu siermiężniej ? Ja tak robię jeżeli mam daną postać całki szczególnej (albo jeśli próbuje ją odgadnąć) Tak na dobrą sprawę to gdyby nie to że w treści jest podany typ równania i postać całki szczególnej to można by to równanie podstawieniem sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych Jak chcemy siermiężnie aczkolwiek dość ogólnie to 1) sprowadzamy równanie do postaci kanonicznej y'=±y²+R(t) 2) sprowadzamy równanie do równania liniowego drugiego rzędu (choć już niekoniecznie ze stałymi współczynnikami) 3) stosujemy metodę Frobeniusa jeśli szereg potęgowy nie wystarczy Mimo iż powyższe kroki wyglądają siermiężnie to czasami nie będziemy mieli innego wyjścia

kerajs: Dlaczego siermiężniej? Gdyż moja odpowiedź była zwyczajnie zwyczajna.