Pole powierzchni pod wykresem Daniel: Jak to uproscic, zeby dalo sie dalej liczyc Oblicz pole powierzchni pod wykresem funkcji y = sin⁴(x)

Min. Edukacji: ∫sinx dx w jakis granicach

wredulus_pospolitus: zauważ, że:

	1
sin4x = sin2x*(1−cos2x) = sin2x − sin2xcos2x = sin2x −		sin2(2x) =
	2

	cos(2x) + 1		1		cos(4x) + 1
=		−		*		= ...
	2		2		2

trygonometria się kłania i teraz sobie liczysz z takiej postaci całeczke w granicach które tam masz u siebie podane

Mariusz: wredulus ja zastanawiałem się jak to ogólnie dla danego o n zapisać Próbowałem coś kombinować z wielomianami Czebyszowa Wziąć wszystkie możliwe nieujemne k nie większe od n i takie że dają taką samą resztę z dzielenia przez 2 co n Dla każdego takiego k obliczyć niezerowe współczynniki wielomianu Czebyszowa i ułożyć je w kolejnych kolumnach macierzy Następnie tak utworzoną macierz odwrócić Problem w tym że potrafię wyprowadzić wzorek

	n 2k
Tn(x) = ∑k=0floor(n/2)		xn−2k(x2−1)k

zarówno korzystając tylko z liczb rzeczywistych jak i korzystając z liczb zespolonych (na liczbach zespolonych jest mniej obliczeń) Nie mam pomysłu jednak na to jak wydobyć współczynniki wielomianu Czebyszowa bo zarówno po skorzystaniu z dwumianu Newtona jak i po rozpisaniu przypadku dla ustalonego n dostaję podwójną sumę której nawet Wolfram nie potrafi poprawnie policzyć

Mariusz:

	1
PS wredulus skąd ci się wzięła −
	2

o tutaj

	1
... = sin2x −		sin2(2x) =
	2

wredulus_pospolitus: fakt ... 1/4 winna byc

jc: sin x = (e^ix − e^−ix)/(2i) cos x = (e^ix + e^−ix)/2 (sin x)⁴ = (e^ix − e^−ix)⁴/16 = (e^4ix − 4e^2ix +6 − 4e^−2ix + e^−4ix)/16

	cos 4x		cos 2x		3
=		−		+
	8		2		8

Min. Edukacji: https://zadania.info/d64/9322337

Mariusz: wredulus przynajmniej nie upierasz się przy błędzie jak pupilek Mili dzieciak chichi jc a po co od razu zespolone

jc:

.: Wredulus masz ewidentnie problemy z prostymi obliczeniami

	cos2x+1
sin²x ≠
	2

	1−cos2x
sin²x =
	2

..: W drugim wyrażeniu analogicznie... żenada

wredulus_pospolitus: chyba komuś coś w życiu nie wyszło i się wyżywa w "internetach"

Mariusz: Zdarza się nawet ja tego nie zauważyłem Osobiście uważam że korzystając ze wzoru redukcyjnego wynik można byłoby podać natychmiast Wzór ten można wyprowadzić całkując przez części a następnie korzystając z jedynki trygonometrycznej ∫sinⁿ(x)dx = ∫sin(x)sinⁿ⁻¹(x)dx ∫sin(x)sinⁿ⁻¹(x)dx = −cos(x)sinⁿ⁻¹(x) − ∫(−cos(x))(n−1)sinⁿ⁻²(x)cos(x)dx ∫sinⁿ(x)dx = −cos(x)sinⁿ⁻¹(x) + (n−1)∫sinⁿ⁻²(x)cos²(x)dx Teraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej ∫sinⁿ(x)dx = −cos(x)sinⁿ⁻¹(x) + (n−1)∫sinⁿ⁻²(x)(1−sin²(x))dx ∫sinⁿ(x)dx = −cos(x)sinⁿ⁻¹(x) + (n−1)∫sinⁿ⁻²(x)dx − (n−1)∫sinⁿ(x)dx (1+(n−1))∫sinⁿ(x)dx = −cos(x)sinⁿ⁻¹(x) + (n−1)∫sinⁿ⁻²(x)dx n∫sinⁿ(x)dx = −cos(x)sinⁿ⁻¹(x) + (n−1)∫sinⁿ⁻²(x)dx

	1		n−1
∫sinn(x)dx =−		cos(x)sinn−1(x)+		∫sinn−2(x)dx
	n		n

Znając powyższy wzorek rekurencyjny można przy odrobinie wprawy podać wynik natychmiast " chyba komuś coś w życiu nie wyszło i się wyżywa w "internetach" " Gdyby tak przyjrzeć się mojemu życiu to mnie też nie wyszło Już podczas porodu nie przeprowadzili poprawnie cesarskiego cięcia i doszło do niedotlenienia mózgu Teraz w najlepszym razie moje życie jest gdzieś na półmetku i żadna dziewczyna mnie nie chce więc jak to poeta pisał Moje życie przeszło jako błyskawica Nie zostawiłem po sobie żadnego dziedzica ani dla mej lutni ani dla imienia Na pewno ma lepiej niż ja

.: Chyba ten ktoś się wyżywa bo ty również się wyżywasz