Różniczka HELP!!! student1: y''−6y'+13y=6x+1

Pitbull puppies forever!: CORN=CORJ+CSRN

Mariusz: I co to wnosi do tematu Nie napisałeś ani jak znajdować CORJ ani jak znajdować CSRN ani nawet nie napisałeś czym są te twoje skrótowce ∫₀^∞y(t)e^−stdt = Y(s) ∫₀^∞y'(t)e^−stdt Z całkowania przez części mamy ∫₀^∞y'(t)e^−stdt = y(t)e^−st|₀^∞ − ∫₀^∞y(t)(−s)e^−stdt ∫₀^∞y'(t)e^−stdt = 0 − y(0⁺) + s∫₀^∞y(t)e^−stdt ∫₀^∞y'(t)e^−stdt = −y(0⁺) + sY(s) ∫₀^∞y''(t)e^−stdt Z całkowania przez części mamy ∫₀^∞y''(t)e^−stdt = y'(t)e^−st|₀^∞−∫₀^∞y'(t)(−s)e^−stdt ∫₀^∞y''(t)e^−stdt = 0 − y'(0⁺) + s∫₀^∞y'(t)e^−stdt ∫₀^∞y''(t)e^−stdt = − y'(0⁺) + s(y(t)e^−st|₀^∞ − ∫₀^∞y(t)(−s)e^−stdt) ∫₀^∞y''(t)e^−stdt = − y'(0⁺) + s(0 − y(0⁺) + s∫₀^∞y(t)e^−stdt) ∫₀^∞y''(t)e^−stdt = − y'(0⁺) − sy(0⁺) + s²∫₀^∞y(t)e^−stdt ∫₀^∞y''(t)e^−stdt = − y'(0⁺) − sy(0⁺) + s²Y(s) Teraz przyjmijmy że y(0⁺) = C₁ oraz y'(0⁺) = C₂

	6		1
(−C2 − C1s + s2Y(s)) − 6(−C1+sY(s)) + 13Y(s) =		+
	s2		s

	s+6
(s2 − 6s + 13)Y(s) −C1s−(C2 − 6C1) =
	s2

	s+6
(s2 − 6s + 13)Y(s) = C1s + (C2 − 6C1) +
	s2

	C1s + (C2 − 6C1)		s+6
Y(s) =		+
	(s2 − 6s + 13)		s2(s2 − 6s + 13)

	C1(s − 3) + (C2 − 3C1)		s+6
Y(s) =		+
	(s−3)2+4		s2(s2 − 6s + 13)

	s−3		C2 − 3C1	2		s+6
Y(s) =C1		+			+
	(s−3)2+4		2	(s−3)2+4		s2(s2 − 6s + 13)

	s+6
Rozłóżmy na sumę ułamków prostych ułamek
	s2(s2 − 6s + 13)

s+6		A		B		Cs+D
	=		+		+
s2(s2−6s+13)		s		s2		s2 − 6s + 13

As(s² − 6s + 13)+B(s² − 6s + 13)+(Cs+D)s² = s + 6 A(s³ − 6s² + 13s) + B(s² − 6s + 13) + Cs³ + Ds² = s + 6 A + C = 0 −6A+B+D = 0 13A −6B = 1 13B = 6

	6
B =
	13

C = −A

	49
A =
	169

	294−78
D =
	169

	49
A =
	169

	6
B =
	13

	49
C = −
	169

	216
D =
	169

	s−3		C2 − 3C1	2
Y(s) =C1		+			+
	(s−3)2+4		2	(s−3)2+4

1		49		78		49s−216
	(		+		−		)
169		s		s2		s2 − 6s + 13

	s−3		C2 − 3C1	2
Y(s) =C1		+			+
	(s−3)2+4		2	(s−3)2+4

1		49		78		49(s−3)+147−216
	(		+		−		)
169		s		s2		(s−3)2+4

	s−3		C2 − 3C1	2
Y(s) =C1		+			+
	(s−3)2+4		2	(s−3)2+4

1		49		78		49(s−3)−69
	(		+		−		)
169		s		s2		(s−3)2+4

	s−3		C2 − 3C1	2
Y(s) =C1		+			+
	(s−3)2+4		2	(s−3)2+4

1		49		78		s−3		69	2
	(		+		−49		+			)
169		s		s2		(s−3)2+4		2	(s−3)2+4

	1
y(x) = C1e3xcos(2x)+		(C2 − 3C1)e3xsin(2x)
	2

	49		78		49		69
+		+		x −		e3xcos(2x) +		e3xsin(2x)
	169		169		169		338

	49		1		69
y(x) = (C1 −		)e3xcos(2x) +		(C2 − 3C1+		)e3xsin(2x)
	169		2		169

	49		78
+		+		x
	169		169

Tutaj możesz sobie przedefiniować stałe np

	49
K1 = C1 −
	169

	1		69
K2 =		(C2 − 3C1+		)
	2		169

:- : CORJ to Całka Ogólna Równania Jednorodnego y''−6y+13=0

	6±i4
r2−6r+13=0 ⇒ r=		=3±i2
	2

CORJ: y_o=e^3x(C₁ sin(2x) + C₂ cos(2x)) CSRN to Całka Szczególna Równania Niejednorodnego y=Ax+B ⇒ y'=A ⇒ y''=0 0−6A+13(Ax+B)=6x−1

	6		−1+6A		23
A=		∧ B=		=
	13		13		169

	6		23
CSRN: ys=		x+
	13		169

CORN to Całka Ogólna Równania Niejednorodnego

	6		23
CORN: y=y+o+ys=3x(C1 sin(2x) + C2 cos(2x))+		x+
	13		169

: - : Ups, bad click w ostatnim wierszu. Poprawione:

	6		23
CORN: y=yo+ys=e3x(C1 sin(2x) + C2 cos(2x))+		x+
	13		132

Mariusz:

	23
A skąd ci wyszło
	169

bo to nie jest poprawny wynik

Mariusz: Błędnie to ty przepisałeś część niejednorodną Ogólnie przekształcenie Laplace jest wygodniejsze Działa dla tych samych przypadków a nie trzeba oddzielnie rozpatrywać jednorodnego i niejednorodnego ani nie trzeba zastanawiać się co przewidzieć Jeszcze lepsza jest metoda uzmienniania stałych bo mając układ fundamentalny równania jednorodnego jedyną trudnością podczas rozwiązywania równania niejednorodnego będzie policzenie potrzebnych całek

student1: Dzięki.