Rozwiąż równanie rekurencyjne hanka: Rozwiąż równanie rekurencyjne: a_n = 2a_n−1 + 8a_n−2 + 5*3ⁿ + 9n z warunkami początkowymi: a₀ = 10 a₁ = −60

wredulus_pospolitus: czy wiesz jak się odnajduje postać jawną ciągu rekurencyjnego?

Mariusz: Pytanie jakiej metody chcesz użyć Równanie charakterystyczne i przewidywanie Zakładasz że λⁿ jest rozwiązaniem równania jednorodnego i sprawdzasz ilukrotnym pierwiastkiem równania jest jedynka Tutaj część niejednorodna będzie superpozycją wielomianu pierwszego stopnia i funkcji wykładniczej o podstawie 3 Na koniec rozwiązujesz układ równań aby obliczyć stałe Oprócz tego masz przekształcenie Z Tutaj definiujesz sobie funkcję A(z) = ∑_n=0^∞a_nz⁻ⁿ Możesz też użyć funkcji tworzącej A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ bo pierwszym zdefiniowanym wyrazem jest a₀ Wstawiając funkcję tworzącą do równania rekurencyjnego zaczynasz sumować od n=2 bo rekurencja zachodzi dla n ≥ 2 ∑_n=2^∞{a_nxⁿ} = ∑_n=2^∞(2a_n−1+8a_n−2+5*3ⁿ+9n)xⁿ Jeżeli nie było narzuconej metody to proponuję funkcje tworzące

Mariusz: a_n=2a_n−1 + 8a_{n − 2} + 5*3ⁿ+9n a₀ = 10 a₁ = −60 A(z) = ∑_n=0^∞a_nz⁻ⁿ ∑_n=2^∞a_nz⁻ⁿ = ∑_n=2^∞(2a_n−1 + 8a_{n − 2} + 5*3ⁿ+9n)z⁻ⁿ ∑_n=2^∞a_nz⁻ⁿ = 2(∑_n=2^∞a_n−1z⁻ⁿ)+8(∑_n=2^∞a_n−2z⁻ⁿ) +5(∑_n=2^∞3ⁿz⁻ⁿ)+9(∑_n=2^∞nz⁻ⁿ)

	2
∑n=2∞anz−n =		(∑n=2∞an−1z−(n−1))+
	z

8
	(∑n=2∞an−2z−(n−2))+5(∑n=0∞3nz−n − 1 − 3z−1)
z2

+9(∑_n=0^∞nz⁻ⁿ−z⁻¹)

	2		8
∑n=2∞anz−n =		(∑n=1∞anz−n)+		(∑n=0∞anz−n)
	z		z2

	3
+5∑n=0∞(		)n+9(∑n=0∞nz−n) − 5 − 24z−1
	z

	1
∑n=0∞z−n =
	1   1−   z

	z
∑n=0∞z−n =
	z−1

d		d		z
	(∑n=0∞z−n) =		(		)
dz		dz		z−1

	1*(z−1)−z*1
∑n=0∞−nz−n−1 =
	(z−1)2

	−1
−(∑n=0∞nz−n−1) =
	(z−1)2

	1
∑n=0∞nz−n−1 =
	(z−1)2

	z
∑n=0∞nz−n =
	(z−1)2

	2		8
∑n=2∞anz−n =		(∑n=1∞anz−n)+		(∑n=0∞anz−n)
	z		z2

	3
+5∑n=0∞(		)n+9(∑n=0∞nz−n) − 5 − 24z−1
	z

	2		8
∑n=2∞anz−n =		(∑n=1∞anz−n)+		(∑n=0∞anz−n)
	z		z2

	1		z
+5(		)+9		− 5 − 6z−1
	3   1−   z		(z−1)2

	2		8
∑n=2∞anz−n =		(∑n=1∞anz−n)+		(∑n=0∞anz−n)
	z		z2

	z		z
+5(		)+9		− 5 − 24z−1
	z−3		(z−1)2

z²(∑_n=2^∞a_nz⁻ⁿ) = 2z(∑_n=1^∞a_nz⁻ⁿ)+8(∑_n=0^∞a_nz⁻ⁿ)

	5z3		9z3
+		+		−5z2 − 24z
	z−3		(z−1)2

z²(∑_n=0^∞a_nz⁻ⁿ − 10 +60z⁻¹) = 2z(∑_n=0^∞a_nz⁻ⁿ − 10)+8(∑_n=0^∞a_nz⁻ⁿ)

	5z3		9z3
+		+		−5z2 − 24z
	z−3		(z−1)2

	5z3		9z3
(∑n=0∞anz−n)(z2−2z−8) = 10z2 − 60z − 20z−5z2−24z +		+
	z−3		(z−1)2

	5z2−104z		z3		5		9
A(z) =		+		(		+		)
	z2−2z−8		z2−2z−8		z−3		(z−1)2

	5z2−104z		z3		5z2−10z+5+9z−27
A(z) =		+		(		)
	z2−2z−8		z2−2z−8		(z−1)2(z−3)

	5z2−104z		z3(5z2−z−22)
A(z) =		+
	(z − 4)(z + 2)		(z−4)(z+2)(z−1)2(z−3)

A		B		(A+B)z+(2A−4B)
	+		=
z−4		z + 2		(z − 4)(z + 2)

A+B = 5 2A−4B = −104 A+B = 5 A−2B = −52 −A−B = −5 A−2B = −52 −3B = −57 B = 19 A = −14

	z		z		z3(5z2−z−22)
A(z) = −14		+ 19		+
	z−4		z+2		(z−4)(z+2)(z−1)2(z−3)

z3(5(z−1)2+9(z−3))
(z−4)(z+2)(z−1)2(z−3)

	z3		z3
5		+9
	(z−4)(z+2)(z−3)		(z−4)(z+2)(z−1)2

	z		z
9Z−1(		*		) = ∑k=0n(k*(−2)n−k)
	(z+2)		(z−1)2

	z		z
9Z−1(		*		) = 3n+2−2(−2)n
	(z+2)		(z−1)2

	z		z	z
9Z−1(		*			) = ∑k=0n((3k+2−2(−2)k)*4n−k)
	(z−4)		(z+2)	(z−1)2

	2		8
=−n−2−		(−2)n+		*4n
	3		3

	z3		2		40
5Z−1(		) =		*(−2)n−9*3n+		*4n
	(z−4)(z+2)(z−3)		3		3

	2		8		2		40
an = −14*4n + 19*(−2)n−n−2−		(−2)n+		*4n+		*(−2)n−9*3n+		*4n
	3		3		3		3

a_n = 2*4ⁿ − 9*3ⁿ + 19*(−2)ⁿ − n − 2