całki lila: Zbadaj zbieżnzść całki ∫₀^∞ x²( 1−e^{(sin x4)/(x2+1)}) dx

getin: Granica lim_x→+∞ x²(1−e^{(sinx4)/(x2+1)} nie istnieje, całka jest rozbieżna

jc: ∫₀^∞ sin x² dx = lim_t→∞ ∫₀^t sin x² dx = √π/8, a granica sin x² w ∞ nie istnieje

lila: Dzieki czyli bezwzglednie tez jest rozbieżna?

jc: Bezwzględnie pewnie jest rozbieżna. Ale na pewno warunek lim f(x)→0 nie jest konieczny. Przykładem jest funkcja f(x)= 1 dla x ∊[n− 2⁻ⁿ, n+ 2⁻ⁿ], n=1, 2, 3, ... f(x) = 0 fla pozostałych x całka = 2

lila: Czyli ta całka moja jest rozbieżna czy nie, bo już sie gubie

getin: Jest rozbieżna, bo granica z funkcji podcałkowej w nieskończoności jest nieokreślona (nie istnieje)

getin: lim_{x → +∞} x²(1 − e^{(sin x4)/(x2+1)}) =

	x2
= limx → +∞
	1   1 − e(sin x4)/(x2+1)

	∞
Po wstawieniu nieskończoności w miejsce x otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone		więc
	∞

korzystamy z reguły de'l Hospitala

	(x2)'
= limx → +∞
	1   ( )'   1 − e(sin x4)/(x2+1)

	2x
= limx → +∞
	4x3*cos x4(x2+1)−2x*sin x4   −1(−e(sin x4)/(x2+1))*   (x2+1)2

	2x(x2+1)2
= limx → +∞
	e(sin x4)/(x2+1)*(4x3*cos x4(x2+1)−2x*sin x4)

	2x5+4x3+2x
= limx → +∞
	e(sin x4)/(x2+1)[(4x5+4x3)*cos x4 − 2x*sin x4]

	4   2   x5(2+ + )   x2   x4
= limx → +∞
	4   x5*e(sin x4)/(x2+1)*[(4+ )*cos x4]   x2

	4   2   2+ +   x2   x4
= limx → +∞
	4   e(sin x4)/(x2+1)*[(4+ )*cos x4]   x2

Licznik dąży do 2, mianownik − gdyby nie ten cosinus, dążyłby ładnie do 4 czyli granica byłaby

	1
równa		i tym samym całka byłaby zbieżna, no ale wyrażenie cos x4 dla x→+∞ jest
	2

niezdecydowane i się znajduje pomiędzy −1 a 1. Pół biedy, gdyby to cudo było w liczniku. To wtedy granica i tak byłaby skończona. Gdy się to pojawiło w mianowniku to już jest niebezpieczeństwo że mianownik będzie dążył do 0 a to (przy liczniku dążącym do 2) oznacza granicę niewłaściwą, +∞ lub −∞, w takich wypadkach granica nie istnieje czyli całka jest rozbieżna

jc: getin, na jakiej podstawie twierdzisz, że całka jest rozbieżna? Z faktu, że całkowana funkcja nie ma granicy w nieskończoności nie wynika, że całka niewłaściwa nie jest zbieżna. Dwa przykłady podałem wcześniej. Właściwie wystarczyłoby, aby całka ∫₀^∞ sin x⁴ dx była zbieżna. Wydaje mi się, że jest, a tym samym całka z zadania wydaje się zbieżna.

Mariusz: Tyle napisali a nic z tego nie wynika i nie przybliżyło Lili do rozwiązania tego zadania Co do całki ∫₀^∞ sin x⁴ dx to sinusa można wyrazić za pomocą zespolonej eksponenty a całkę ∫e^xndx można policzyć za pomocą funkcji Γ

getin: Wydaje mi się że od tej granicy w nieskończoności zależy pole obszaru zawartego pomiędzy wykresem funkcji podcałkowej a osią x. Nie umiem jej wyliczyć, a więc nie umiem określić jakie to pole jest (skończone czy nieskończone). Pojawienie się niejednoznaczności przy określaniu pola bardziej skłania mnie ku uznaniu całki za rozbieżną, ale może faktycznie nie znam innych twierdzeń i rzeczywiście całka będzie zbieżna

Mariusz: A nie dałoby się tutaj zastosować jakichś kryteriów np porównać tę całkę z inną o której wiadomo czy jest zbieżna czy nie

getin: No właśnie myślałem nad tym ale póki co − nie mam pomysłu jak ograniczyć funkcję podcałkową z obu stron w taki sposób żeby były z tego jakieś sensowne wnioski

jc:

	sin x4
f(x)=
	1+x2

| f | ≤ 1 e^f − 1 = f + f² h(f), |h(f)| ≤ e−2 x² (e^f(x) − 1) = x² f(x) + x² f(x)² h(x) drugi składnik jest całkowalny

	x2		sin x4
x2 f(x) =		sin x4 = sin x4 −
	1+x2		1+x2

znów drugi składnik jest całkowalny wystarczy więc, aby całka z sin x⁴ była zbieżna, a jak mi się wydaje, jest.

Mariusz:

	x		1
∫exndx = −(−xn)−1n*		*Γ(		,−xn)
	n		n

a sinusa można wyrazić za pomocą zespolonej eksponenty Tylko czy aby na pewno całka będzie zdefiniowana na podanym przedziale ?

lila: a gdyby podstawic w sin x⁴ podstawic x=y^1/4 i zastosowac https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Dirichleta_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_ca%C5%82ek_niew%C5%82a%C5%9Bciwych

jc: dziękuję lila