rozniczka help student1: Rozwiąż równanie różniczkowe y'+¹_x*y=²_y³

student1: =2/y3

wredulus_pospolitus:

	y
y' +		= 2y−3
	x

student1: tak

Mariusz: Równanie Bernoullego Możesz sprowadzić do liniowego albo od razu na równaniu Bernoulliego zastosować te same metody co dla równania liniowego Jeżeli chodzi uzmiennianie stałej to postępujesz dokładnie tak jak w przypadku równania liniowego Jeżeli jednak wolisz czynnik całkujący to dla równania Bernoulliego jest to tzw czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych Mamy równanie y'+p(x)y=q(x)y^r gdzie r = const , r ∊ ℛ μ(x,y)=φ(x)ψ(y) Niech

δP		δQ
	−		= Q(x,y)f(x) − P(x,y)g(y)
δy		δx

gdzie

dφ
	= f(x)dx
φ

dψ
	= g(y)dy
ψ

Dla równania Bernoulliego mamy y'+p(x)y=q(x)y^r y'+p(x)y−q(x)y^r=0 (p(x)y−q(x)y^r)dx+dy=0 P(x,y) = p(x)y−q(x)y^r Q(x,y) = 1

	B
p(x) −rq(x)yr−1 = 1*A*p(x)−(p(x)y−q(x)yr)*
	y

p(x) −rq(x)y^r−1 = Ap(x)−Bp(x)+Bq(x)y^r−1 p(x) −rq(x)y^r−1 = (A − B)p(x)+Bq(x)y^r−1 A − B = 1 B = −r A = 1 + B B = −r A = 1 − r B = −r

dφ
	= (1−r)p(x)dx
φ

dψ		r
	= −		dy
ψ		y

ln|φ| = (1−r)∫p(x)dx ln|ψ| = −rln|y| φ(x) = exp((1−r)∫p(x)dx) ψ(y) = y^−r Zatem czynnik całkujący dla równania Bernoulliego wynosi μ(x,y) = exp((1−r)∫p(x)dx)y^−r natomiast metodę uzmiennienia stałej możesz bez problemu uogólnić na równania Bernoulliego

student1: dzieki wielkie

Mariusz:

	y
y'+		=2y−3
	x

	4
4y3y' +		y4 = 8
	x

u = y⁴ u' = 4y³y'

	4
u' +		u = 8
	x

	4
u' +		u = 0
	x

	4
u' = −		u
	x

u'		4
	= −
u		x

du		4
	= −		dx
u		x

ln|u| = −4ln|x|+C

	C
u =
	x4

	1
u(x) = C(x)*
	x4

	1		4		4
C'(x)*		−		*C(x)+		C(x) = 8
	x4		x5		x5

	1
C'(x)*		= 8
	x4

C'(x) = 8x⁴

	8
C(x) =		x5
	5

Całka szczególna równania niejednorodnego to

	8		1
us =		x5*
	5		x4

	8
us =		x
	5

Całka ogólna równania jednorodnego to

	C
uj =
	x4

Całka ogólna równania niejednorodnego to suma całki szczególnej równania niejednorodnego i całki ogólnej równania jednorodnego

	8		C
u(x) =		x +
	5		x4

	8		C
y4 =		x +
	5		x4

Jeżeli chcemy mieć rozwiązanie w postaci uwikłanej to pomnóżmy równanie przez x⁴ i zostawmy po jednej ze stron równania tylko stałą C

	8
x4y4 −		x5 = C
	5

O tutaj można było zastosować też podstawienie sprowadzające równanie jednorodne do równania o rozdzielonych zmiennych Gdybyśmy chcieli rozwiązywać schematycznie z identyfikacją typu itp to jednak równanie Bernoulliego