Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji. tomek: Wyznacz dziedzinę funkcji i jej zbiór wartości.

	3x
f(x)=
	x2−5x+6

Dziedzinę wyznaczyć potrafię bez problemu. Lecz nie wiem jak wyznaczyć zbiór wartości.

chichi: znajdź ekstrema lokalne funkcji f, pokaz że są to ekstrema globalne, czyli zbadaj pochodną funkcji f i jej granice w nieskończonosciach, no i na koniec ciągłość i masz ZW_f

ite: chichi a nieskomplikowany i pełen uroku sposób: → z podstawieniem (po ustaleniu dziedziny)

	3x
y=
	x2−5x+6

→ przekształceniem y*(x²−5x+6)=3x y*x²−(5y+3)x+6y=0 i analizą istnienia rozwiązań tego równania w zależności od parametru y ?

chichi: jasne, że świetny sposób

Fairy and devil: Można prosic o analizę tego równania ? Z góry dziękuje

ite:

	3x
Ustalamy dziedzinę wyjściowej funkcji f(x)=		, jest to zbiór R \ {2,3}.
	x2−5x+6

Zbiór wartości tej funkcji będzie utworzą liczb otrzymane w wyniku wstawienia do wzoru funkcji elementów tego zbioru. Czyli będą liczby (oznaczmy je y) otrzymane w wyniku wykonania działania

	3x
y=		(*)
	x2−5x+6

Po przekształceniu tego równania otrzymujemy równanie y*x²−(5y+3)x+6y=0 z niewiadomą x. y potraktujemy jako parametr. Kiedy to równanie z niewiadomą x∊R \ {2,3} będzie mieć rozwiązania? A) jeśli parametr będzie mieć wartość y=0 to otrzymamy równanie liniowe 0*x²−(5*0+3)x+6*0=0 3x=0 stąd x=0 czyli należące do dziedziny wniosek: y=0 jest możliwym wynikiem, czyli należy do zbioru wartości f(x) B) dla y≠0 otrzymamy równanie kwadratowe, które będzie miało rozwiązania gdy Δ≥0 więc mamy do rozwiązania nierówność [−(5y+3)]²−4*y*6y ≥ 0 (5y+3)²−24*y² ≥ 0 (5y+3)²−(2√6y)² ≥ 0 korzystam ze wzoru na różnicę kwadratów [(5y+3)−(2√6y)]*[(5y+3)+(2√6y)] ≥ 0 po przekształceniach otrzymuję [(5−2√6)y+3]*[(5+2√6)y+3] ≥ 0

	−3		−3
i wynik y∊(−∞,		)∪(		, 0)∪(0, +∞)
	5−2√6		5+2√6

Wyniki z punktów A) i B) dają zbiór wartości f(x)

	−3		−3
(−∞,		)∪(		, +∞)
	5−2√6		5+2√6

I taka jest odpowiedź, jeśli się nie pomyliłam w obliczaniach.

ite: Sprawdzam jeszcze jaki y otrzymam po wstawieniu do przekształconego wzoru y*x²−(5y+3)x+6y=0 liczb 2 i 3 nie należących do dziedziny. y*2²−(5y+3)2+6y=0 −6=0 a więc sprzeczność y*3²−(5y+3)3+6y=0 −9=0 również sprzeczność

Min. Edukacji: https://www.desmos.com/calculator/zw8fp750m3

Fairy and devil: Dziękuje bardzo ite