Równania różniczkowe Madziunia Studia: Równanie różniczkowe − mam kolejne zadanie : System jest opisany przez model wykładniczy z ograniczonym wzrostem, tj. równanie różniczkowe równanie różniczkowe n'(t) = k ⋅ (max−n(t)). Oblicz: (a) rozwiązanie ogólne (b) rozwiązanie szczególne dla max = 100 n(0) = 11, n(5) = 15 c) oszacuj, po jakim czasie (dla jakiego t) układ przyjmie wartość n(t) = 50

Madziunia Studia: i nie wiem od czego zacząć i o co tu chodzi

wredulus_pospolitus: co oznacza: "max − n(t)"

Madziunia Studia: mówiąc szczerze nie mam pojęcia

Madziunia Studia: z definicji którą znalazłam: W kontekście równania różniczkowego n'(t) = k ⋅ (max−n(t)), max−n(t) odnosi się do różnicy między maksymalną wartością n a bieżącą wartością n w czasie t. Innymi słowy, max−n(t) reprezentuje wielkość wzrostu, który jest możliwy dla n w czasie t, biorąc pod uwagę, że n nie może przekroczyć wartości maksymalnej. Równanie różniczkowe modeluje sytuację, w której tempo wzrostu n jest proporcjonalne do pozostałego potencjału wzrostu, który jest określony przez max−n(t).

: może zaczniesz chodzić na ćwiczenia i wykłady ale to od następnego semestru bo ten zjebałas no i do biblioteki

Mariusz: n'(t) = k ⋅ (max−n(t))

n'(t)
	= k
max−n(t)

	dn
−		= −k dt
	max−n(t)

ln|max − n(t)| = −kt +C₁ max − n(t) = C₁e^−kt n(t) = max − C₁e^−kt max = 100 n(0) = 11 n(5) = 15 n(t) = 100 − C₁e^−kt 100−C₁ = 11 100−C₁e^−5k = 15 C₁ = 89 100 − 89e^−5k=15 85 = 89e^−5k

	85
e−5k =
	89

	85
−5k = ln(		)
	89

	89
5k = ln(		)
	85

	1		89
k =		ln(		)
	5		85

To chyba będzie punkt b)

Madziunia Studia: hmmm zrobiłam to inaczej i inny wynik mi wyszedł, zobaczcie: n(t) = max − e⁽−kt +C₁) mogę to tak zapisać w potędze? to chyba jest to samo co Twoje n(t) = max − C1e−kt , Mariusz ? Rozwiązanie: b)) 11=100−e⁽0 +C₁) C₁ = ln(89) 15=100−e⁽−5k+ln(89) e⁽−5) =74 k=−1/5 * ln(74) n(t) = 100 − e⁽−t/5) * ln(74) + ln*89) c)) 50 = 100 − e⁽t/5 * ln(79) +ln(89) ) 0 = 50 − e⁽t/5 * ln(79) +ln(89) e⁽t/5 * ln(79) +ln(89) = 50

Mariusz: "mogę to tak zapisać w potędze? to chyba jest to samo co Twoje n(t) = max − C1e−kt , Mariusz ?" Tak możesz tak zapisać Wg mnie twoje obliczenia w b) są błędne

Madziunia Studia: ok, zrobię po Twojemu

Madziunia Studia: a jeszcze pytanko − co z punktem trzecim, czyli C , jak go rozwiązać ? c) ( oszacuj, po jakim czasie (dla jakiego t) układ przyjmie wartość n(t) = 50 )

Madziunia Studia: czy ktoś ma pomysł jak rozwiązać podpunkt c ?

Mariusz: Nie wiem o co dokładnie chodzi ale gdyby skorzystać z wyniku z podpunkt b) to można by obliczyć to t Gdybyśmy nie mogli korzystać wyników z podpunktu b) to wynik będzie wyrażony za pomocą stałych

Madziunia Studia: a możesz mi to obliczyć ? bo ja się gubię w tych cyfrach i jednym razem mi wychodzi tak a innym inaczej, już 10 razy to rozwiązywałam i przy każdym inaczej to wychodzi