kwadraty dydo: Oblicz ile wynosi suma pol powyższych kwadratów?

a7: a skad to zadanie? \

Kacper: Może jakiś konkurs.

dydo: Tak to zadanie z jakiegoś dawnego konkursu, wiec trudniejsze

chichi: ono nie jest trudne, tylko rysunek wymaga trochę pracy i dorobienia czegoś, próbowałeś coś?

dydo: Niestety nie mam pomysłu

Kacper: Ja zrobiłem w układzie współrzędnych, ale zapewne istnieją lepsze pomysły 😁

dydo: Możesz zatem pokazać

dody: *

Mila: Jakie masz pole Kacper?

Kacper: Zaraz sprawdzę, bo robiłem rysunek w geogebrze.

kkk: Za pomocą cyrkla można sprawdzić, że trójkąt między kwadratami jest równoboczny o długości boku 1. Stąd łatwo sprawdzić, że długość boku mniejszego kwadratu równa jest 2 a większego 4. Pole=20.

Kacper: Wyszło mi 21²¹₂₆ dziwnie trochę, ale muszę sprawdzić czy błędu nie mam.

kkk: @Kacper Twój wynik jest zapewne bardziej zbliżony do wyniku rzeczywistego. Sądzę, że jest to zadanie na umiejętność posługiwania się cyrklem dla uczniów szkoły podstawowej.

Kacper: Zależy wszystko od tego na jakim poziomie to zadanie. Ja obstawiam, że to poziom liceum i chcą dokładny wynik. Chichi może wynik podaj jaki otrzymałeś?

chichi: @Kacper w wolnej chwili zrobię i podam wynik, nie przeliczałem konkretnie tego zadania, ale robiłem w przeszłości z dzieciakami podobne zadanka

Kacper: Interesuje mnie w sumie jak wyznaczyć ten punkt wspólny kwadratów bez geometrii analitycznej. Ja jakoś pomysłu nie mam.

.: A w geometrii analitycznej jak wyznaczyłeś?

.: Ja mam pomysł z kątami

.: @Kacper −−− chcialbym zauważyć, że jeżeli by tenże trojkąt był trójkątem równobocznym, to mały kwadrat nie miałby boku długości '2' tylko:

	√17−1
9 = (x+1)2 + x2 −−−> 2x2 + 2x − 8 = 0 −−−> x2 + x − 4 = 0 −−−> x =
	2

(bo oczywiście x>0)

	1+√17
−−−> długość boku kwadratu równa jest x+1 =
	2

Kacper: Wyznaczyłem równania okręgów po których poruszają się wierzchołki kwadratów, które się przetną. Potem wyznaczyłem punkt ich przecięcia i dalej to już prosto.

123:

	3
Ale znów traktując trójkąt jako 30,60,90... wychodzi bok		√3 ≈ 2,59 a wynik z 00:18 to ≈
	2

2,56

123: Wychodzi rozbieżność α ≈ 58°, Kacper pokazalbys jak wyznaczyć równania okręgów?

123: Jedyny wniosek jaki się nasuwa to, że odcinek "1" łączący kwadraty nie jest współliniowy stąd α ≠ 60

123: Chyba dobrze mówię a odnośnie geogebry nigdy się tak nie bawiłem, a pewnie jest możliwość że sama poda równanie...

123: Głupoty napisałem, wtedy jeden bok będzie 2,56 drugi 2,5...

123: Czyli nie jest równoboczny, ale monolog prowadzę

x: 567/26

Kacper: Mila liczyłaś może to zadanko?

.: Chichi chyba ma problem z rozwiązaniem

123: Chyba tak

123: Chyba jeszcze rysunek tworzy

a7: Obliczyłam chyba

a7: a⁺b²=14,875

Ptyś: skąd ten wynik?

x: wynik to 567/26

123: Niestety, ale niekiedy są ludzie, którzy czerpią radość z trollowania i podszywania się.

a7: oznaczenia a−bok kwadratu z trójką b− bok kwadratu z piątką h wysokość trójkąta x,y boki trójkąta α−górny kąt trójkąta 1.z tw cosinusów 9²=(a√2)²+(b√2)²−2a√2*b√2*cos(90+α) 2.z podobieństwa trójkątów h/a=3/x oraz h/b=5/y oraz 1/2*xysinα=h (pole trójkącika wyrażone na dwa sposoby) 3.czyli a²+b²=40,5−4/15*h³ *) 4.z twierdzenia cosinusów 9=x²+(ap[2})²−2a√2x*√2/2 oraz 25=y²+(b√2)²−2b√2y√2/2 odejmujemy stronami 16=y²−x²+2b−2a+2ax−2by oraz dodajemy stronami 34=y²+x²+2a²+2b²−2ax−2by ____________________________ 50=2y²₂a²+2b²+2b−2a−4by |:2 25=y²+a²+b²+b−a−2by przekształcamy 25=(b−y)²+a²+a z tw Pitagorasa (b−y)²+b²=25 czyli (b−y)²=25−b² podstawiamy 25=25−b²+a²+a b²=a²−a z*) mamy a²+b²=40,5+4/15*h³ czyli a²+a²−a=..... czyli a²+a²−a=40,5+4/15*h³ stąd h³=2a²−a−40,5)*15/4 następnie jeszcze raz *) czyli a²+b²=40,5 − 4/15*h³ podstawiamy a²+a²−a=40,5−4/15*15/4(2a²−a−10,5) stąd 4a²−2a+81=0

	1+√82		79−2√82
a=		czyli b=
	4		16

	284√82+7897
a2+b2=		≈40,893474....
	256

a7: @Mila lub @Eta i wszyscy inny czy można prosić o weryfikację?

a7: no jeszcze poprawiam chochliki 4a²−2a−81=0

an: wynik końcowy a7 jest błędny już na pierwszy rzut oka gdyż a<3 ;b<5 to a²+b²<34

162+405		567
	=		jest prawidłowy lub z bardzo dużą dokładnością
26		26

wredulus_pospolitus: w (2) pole trójkąta na dwa sposoby:

1		1
	xysinα =		h
2		2

123: W pewnym momencie w "z*)" oraz "*)" zamieniłeś znak z − na + po 40,5 Wyznaczyleś coś z jednego równania i do tego samego tak naprawdę podstawiłeś, wyszła by tożsamość a przez tą nieuwagę niby mamy jakieś rozwiązanie jak mi się wydaje

123: Poza tym wszystko git, ale brakuje chyba jeszcze czegoś

123: Kiwi ułożył układ i pole się zgadza z wynikiem Kacpra https://matematykaszkolna.pl/forum/417286.html

kiwi: Skorzystałem z podobieństwa tych trójkątów

Kacper: Czyli mój sposób w sumie łatwiejszy rachunkowo 😏

a7: No u mnie ileś błędów. Nie tylko rachunkowych….

Mila: Chcę uniknąć tych obłędnych rachunków. Szukam wszystkich własności tej konstrukcji, kilka odkryłam, ale to nie przybliżyło mnie do rozwiązania geometrycznego. Pozdrawiam wszystkich pasjonatów a7, popatrzyłam na Twoje rachunki, postaram się dokładnie prześledzić.

a7: zrobiłam na pewno błąd w podobieństwie trójkątów nietą przyprostokątną wzięłam i odwrotna proporcja mi się zrobiła oraz właśnie błąd przy podwójnym wyrażeniu pola trójkąta też źle, także chyba całość jest źle

a7: ponadto w jednym z tw cosinusów nie podniosła a i b do kwadratu i raz pominęłam b stad wszytsko jest na pewno obarczone poważnymi blędami

Mila: Błędy rachunkowe można poprawić, na razie zostaw problem, jak się odleży, to rozwiążemy.

a7:

Kacper: Miła ja dopiero wpadłem jak analitycznie to zrobić jak sobie zrobiłem symulacje w geogebrze.

kiwi: BE=√9−x² BF=x−√9−x² ABE∼BFG

x		3		BE
	=		=
FG		BF		BG

	BE * BF		x√9−x2−9+x2
BG=		=
	3		3

	x * BF		x2−x√9−x2
FG=		=
	3		3

Podobnie z większym kwadratem

	y√25−y2−25+y2
CG=
	5

	y2−y√25−y2
FG=
	5

Zatem

x√9−x2−9+x2		y√25−y2−25+y2
	+		=1
3		5

x2−x√9−x2		y2−y√25−y2
	=
3		5

x=? y=?

. : Wiec jednak tak jak wtedy pisałem − miałeś błąd w drugim równaniu

kiwi: Tak, ale nie wiem jak rozwiązać ten układ

a7: a do wolframa się nie da go wprowadzić?

a7: https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%5E2-xsqrt%289-x%5E2%29%29%2F3%3D%28y%5E2-ysqrt%2825-y%5E2%29%29%2F5++%26+%28%28x*sqrt%289-x%5E2%29-9-x%5E2%29%2F3%29%2B%28%28y*sqrt%2825-y%5E2%29-25%2By%5E2%29%2F5%29%3D1

a7: https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%5E2-xsqrt%289-x%5E2%29%29%2F3%3D%28y%5E2-ysqrt%2825-y%5E2%29%29%2F5++%26+%28%28x*sqrt%289-x%5E2%29-9%2Bx%5E2%29%2F3%29%2B%28%28y*sqrt%2825-y%5E2%29-25%2By%5E2%29%2F5%29%3D1

a7: w linku 16:08 poprawka

kiwi: To jednak trzeba inaczej rozwiązać zadanie

a7: Wynik z wolframa zgadza się z wynikiem Kacpra

a7: Także ten układ @kiwi jest pewnie do rozwiązania i na piechotę

123: To samo pisałem, drugie równanie miało "literówkę" a układ może rozwiązać w przybliżeniu jak i na pewno dokładny wynik lecz trzeba się bawić w wolframowe

a7: pierwsze równanie razy 15 5x√9−x²−45+5x²+3y√25−y²−75+3y²=15 5x√9−x²+5x²+3y√25−y²+3y²=135 drugie równanie też razy 15 5x²−5x√9−x²=3y²−3y√25−y² 5x²=3y²−3y√25−y²+5x√9−x² wstawiamy do pierwszego 5x² 3y²−3y√25−y²+5x√9−x²+5x√9−x²+3y√25−y²+3y²=135 czyli 6y²+10x√9−x²=135 czyli 10x√9−x²=135−6y² podnosimy obie strony do kwadratu 100x²(9−x²)=135²−2*135*6y²+36y⁴ czyli mamy 900x²−100x⁴=135²−1620y²+36y⁴ *) z pierwszego (pomnożonego przez 15) wyznaczamy 5x√9−x² wstawiamy do drugiego (pomnożonego przez 15) po redukcji zostaje 6y√25−y²=135−10x² podnosimy do kwadratu i mamy 36y²(25−y²)=135²−2*135*10x²+100x⁴ 900y²−36y⁴=135²−2*135*10x²+100x⁴ teraz bierzemy *) 900x²−100x⁴=135²−1620y²+36y⁴ 900y²−36y⁴=135²−2*135*10x²+100x⁴ odejmujemy stronami 900x²−900y²−100x⁴+36y⁴=135²−135²−1620y²+20*135*x²+36y⁴−100x⁴ 900x²−2700x²−900y²+1620y²=0 720y²−1800x²=0 2y²−5x²=0

	5
y=√		x
	2

i teraz się zgadza podstawiamy do 6y√25−y²=135−10x² wychodzi po podniesieniu do kwadratu 36*5/2x²(25−5/2x²)=135²−2700x²−100x⁴ noi podstawiamy t i mamy x=3 x=9/√13

a7: oczywiście +100⁴ czyli 2250x²−225x⁴=135²−2700x²+100x⁴ 13t²−198t+729=0 Δ=39204−4*13*729=1296 √Δ=36

	198−36		81		198+36
t1=		=		lub t2=		=9
	26		13		26

	9
x>0 czyli x=		lub x=3
	√13

Mila: 1)

ax		3
	=		⇔ 5ax=3by z podobieństwa Δ
by		5

Stosunek pól: ΔAJC i ΔCIF:

a√2*y*sin(α+45)		2
	=		⇔
x*b√2*sin(α+45)		3

ay		2
	=		⇔2bx=3ay
bx		3

===============

5ax		3by
	=		⇔
2bx		3ay

5a²=2b²

	2
a2=		b2
	5

============== 2) Związek między x i y: 2bx=3ay /² 4b²x²=9a²y² 10a²*x²=9a²y²

	9
x2=		y2
	10

========= 3)ΔJEF i ΔABI (b−y)²+b²=25

	√2		3y		2
(b		−		)2+		b2=9
	√5		√10		5

a7:

a7: To czyli są już trzy sposoby na rozwiązanie…

Mila: A7 Układ tak samo skomplikowany jak u poprzedników. Rezygnuję z punktu (3), było późno i nie rozwiązywałam tego układu. Dalej poszukam prostych obliczeń.

Kacper: Może Eta ma jakiś pomysł, gdzie rozwiązanie robi się w 2 linijkach. Na pewno takie istnieje 😁

a7: mi się wydaje, że układ Mili jest prostszy niż pozostałe, i wątpię, żeby się dało w dwóch linijkach, ale Eta chyba na urlopie, bo jeszcze nie zabrała głosu?

a7: prostszy w sensie do obliczeń , ale dla bardzo spostrzegawczych i trudno na niego wpaść

kaszojadka: czy możliwe, że wynik to 20,5? jeżeli możliwe to przeliczę jeszcze raz

a7:

	21
Wynik podał chyba jako pierwszy Kacper 21
	26

kaszojadka: gdyby narysować coś takiego, że tam gdzie są początki tych odcinków (na wierzchołkach kwadratów) dorysować coś wokół tych punktów tak, żeby wyszedł czworokąt i żeby na tym czworokącie opisać okrąg, którego środkiem będzie właśnie ten wierzchołek z którego wychodzi ten odcinek i na drugim kwadracie coś podobnego odległość między środkami okręgów będzie 9, czyli suma promieni będzie 9, czyli suma przekątnych kwadratów będzie 9 i wziąć to 9 podzielić np., że jeden kwadrat ma przekątną 4, a drugi 5 (jakieś losowe liczby), więc jeden ma bok 2√2, a drugi 2,5√2, wtedy jeden ma pole 8, a drugi 12,5 razem ich pola mają 20,5 tylko nie wiem czy te okręgi nie będą na siebie nachodzić, a wtedy to nie zadziała... Trzeba wykombinować, żeby się stykały, ale nie nachodziły

kiwi: W analitycznej geometrii też wychodzi chyba też dość trudny układ

kaszojadka: @Mila

Kacper: W analitycznej należy znaleźć punkty wspólne dwóch okręgów, rachunkowo to proste. Jeden z tych punktów to wspólny wierzchołek kwadratów.

Mila: Kacper zauważyłeś, że ta konstrukcja ma bardzo dużo ciekawych własności. Polecam wpisać 1) Twierdzenie Bottemy − dowód bez słów. oraz 2) Triangle and two squares − przeglądaj rysunki − pojawią się tw. dotyczące tej konstrukcji.

a7: u mnie nie ma wyników dla "Twierdzenie Bottemy"

Kacper: wpisz theorem bottema's

a7: Dziękuję, jest

Mila: a7 Podobały się materiały? Przeczytałaś wszystko z Bottemy? Tłumaczenie jest okropne, ale jeśli ktoś zna angielski to dużo skorzysta.

a7: to znaczy, ja zajrzałam tylko, jako ciekawostkę, nie studiowałam wnikliwie, ale dzięki za fajną ciekawostkę