Podzielność Vivienna: Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 4n³ + 20n −12 jest podzielna przez 12.

Mariusz: Indukcja była ? Jak nie to trzeba inaczej Zauważ że możesz wyciągnąć 4 4(n³+5n−3) zatem n³+5n−3 ma być podzielne przez 3 n³+5n−3 czy da się to rozłożyć 1+5−3 ≠ 0 27 + 15 − 3 ≠ 0 Indukcja byłaby lepszym pomysłem jednak jeśli jej nie macie

Mila: n³+5n−3=n³−n+6n−3=n*(n²−1)+3*(2n−1)=(n−1)*n*(n+1)+3*(2n−1) teraz widzisz podzielność przez 3 ?

ABC: zauważ że n³+5n−3=(n³−n)+(6n−3)=(n−1)n(n+1)+3(2n−1)

Mariusz: n³+5n−3 Dla n=3k podzielność przez 3 jest oczywista 27k³+15k−3 = 3(9k³+5k−1) Mamy iloczyn trójki i liczby całkowitej Dla n = 3k+1 otrzymamy (3k+1)³ + 5(3k+1)−3 (27k³+27k²+9k+1)+15k+5−3=27k³+27k²+24k+3 (3k+1)³ + 5(3k+1)−3 = 3(9k³+9k²+8k+1) Mamy iloczyn trójki i liczby całkowitej Dla n = 3k+1 otrzymamy (3k+2)³ + 5(3k+2)−3 27k³+54k²+36k+8 + 15k+10 − 3=27k³+54k²+51k+15 (3k+2)³ + 5(3k+2)−3 = 3(9k³+18k²+17k+5) Mamy iloczyn trójki i liczby całkowitej

Vivienna: Mila jest podzielne przez 3 ponieważ ten drugi czynnik z tej sumy(n−1)n(n+1)+3(2n−1) jest podzielny przez 3?

Mariusz: Mila , ABC o nawet lepiej dla tych co nie mieli indukcji

Vivienna: Dzięki Mariusz, teraz wszystko jest wszystko jasne

Vivienna: Oba rozwiązania są super

Mariusz: (n−1)n(n+1)+3(2n−1) (n−1)n(n+1) Tutaj mamy trzy kolejne liczby całkowite więc któraś z nich na pewno jest podzielna przez 3 3(2n−1) Tutaj mamy iloczyn trójki i liczby całkowitej więc ten składnik sumy jest też podzielny przez 3 Skoro wszystkie składniki sumy są podzielne przez 3 to i cała suma jest podzielna przez 3

Mila: (n−1)*n*(n+1)+3*(2n−1) jest podzielna przez 3 : 1) (n−1)*n*(n+1) jest podzielne przez 3 bo jest to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych, jedna z nich dzieli się przez 3 2) drugi składnik : 3*(2n−1) też podzielny przez 3 − " oczywista oczywistość"

Vivienna: Dziękuję

Vivienna: A czy zadanie tego typu również można udowodnić poprzez indukcję?: Wykaż, że liczba 17¹⁶ − 15¹⁶ jest podzielna przez 32

ABC: przez indukcję udowadniasz gdy masz n , a tu masz zafiksowane liczby standardowo robisz to ciągiem zstępującym potęg ze wzoru skróconego mnożenia 17¹⁶−15¹⁶=(17⁸−15⁸)(17⁸+15⁸)=(17⁴−15⁴)(17⁴+15⁴)(17⁸+15⁸) itd... aż pokaże ci się (17+15) w nawiasie

Vivienna: 17¹⁶−15¹⁶=(17⁸−15⁸)(17⁸+15⁸)=(17⁴−15⁴)(17⁴+15⁴)(17⁸+15⁸)= (17² − 15²)(17² + 15²)(17⁴ + 15⁴)(17⁸ + 15⁸)= (17−15)(17+15)(17² + 15²)(17⁴+15⁴)(17⁸+15⁸) Czy dobrze?

Mila: Dobrze. cd =2*32*(17² + 15²)(17⁴+15⁴)(17⁸+15⁸)

Vivienna: Dzięki bardzo miłego weekendu życzę.