X X: W badaniach warunków życia mieszkańców pewnego miasta zebrano m. in. informacje o wysokości dochodów przypadających na 1 członka gospodarstwa domowego. Dla losowej próby 200 gospodarstw uzyskano następujące wyniki badań: Dochód na 1 osobę w zł Liczba gospodarstw 150 – 350 5 350 – 550 25 550 – 750 80 750 – 950 70 950 – 1150 15 1150 – 1350 5 Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że rozkład dochodów w gospodarstwach domowych ma charakter rozkładu normalnego.

M: Stawiana jest hipoteza zerowa o postaci H₀ : F(x) = F₀(x) zakładająca, że rozkład dochodów ma charakter rozkładu normalnego i przeciwstawna niej hipoteza alternatywna H₁ : F(x) ≠ F₀(x). Z uwagi na dużą próbę, wartość średnią i odchylenie standardowe dochodów ustalone z próby, możemy przyjąć jako parametry rozkładu normalnego. Otrzymujemy:

	146000
E(x) = x̅ =		= 730 zł
	200

	6599000
σ(x) = s(x) = √		= 181,6 zł
	200

W wyniku tych ustaleń hipotetyczny rozkład normalny posiadałby parametry: N(730 zł; 181,6 zł). Dalsze obliczenia pomocnicze dla wyznaczenia statystyki empirycznej zgodnie z wzorem 5.17 zostaną wykonane w poniższej tablicy roboczej, w której: − w kolumnie 1. poszczególne przedziały klasowe zastąpiono ich górnymi krańcami, − w kolumnie 2. podano liczebności empiryczne poszczególnych klas, − w kolumnie 3. dokonano standaryzacji górnych końców przedziałów

	xi − E(x)
klasowych według formuły: ti =		,
	σ(x)

− w kolumnie 4. umieszczono wartości dystrybuanty teoretycznej rozkładu normalnego dla poszczególnych t_i odczytane z tablic rozkładu normalnego, − w kolumnie 5. na podstawie odczytanych wartości dystrybuanty ustalono prawdopodobieństwa teoretyczne uzyskania dochodów mieszczących się w poszczególnych przedziałach klasowych, − w kolumnie 6. ustalono teoretyczne liczebności dla poszczególnych klas, − w kolumnie 7. dokonano obliczenia statystyki empirycznej. Dochód na 1 osobę w zł (x_i) Liczba gospodarstw (n_i) 1 2 350 5 550 25 750 80 950 70 1150 15 1350 5 Razem 200 t_i F_0i(x) = F(t_i) 3 4 − 2,09 0,0183 − 0,99 0,1611 0,11 0,5438 1,21 0,8869 2,31 0,9896 3,41 ~ 1,00 X X

	(ni − N · pi)2
pi N · pi
	N · pi

5 6 7 0,0183 3,7 1,76 0,1428 28,6 0,45 0,3827 76,5 0,16 0,3431 68,6 0,03 0,1027 20,5 1,48 0,0104 2,1 4,00 1,0000 X 7,88 Wartość statystyki empirycznej t_emp wynosi 7,88. Statystykę teoretyczną t_t odczytujemy z tablic rozkładu χ² dla k = 6 – 2 – 1 = 3 i poziomu istotności 1−α = 0,01. Otrzymujemy t_t = 11,345. Zachodzi relacja: t_emp < t_t, wobec czego przy poziomie istotności 0,01 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że rozkład dochodów na jedną osobę w gospodarstwach domowych ma charakter rozkładu normalnego.