Nierówność trygonometryczna Patryk17: Wykazać, że dla dowolnych kątów ostrych α i β takich, że α + β jest kątem rozwartym zachodzi nierówność sin²α + sin²β jest większe od sin²(α+β). PS: Nie mogę użyć w dowodzie jedynki trygonometrycznej, ponieważ dowodzę coś innego i nie mogę prowadzić tzw. okrężnego rozumowania.

ABC: Mariusz ci tak powiedział? Podaj pełną treść zadania , co dowodzisz innego?

123: ABC, możesz też udowodnić z jedynki i pokazać wszystkim

mat: sin(x+y) = cos(y)sin(x)+cos(x)sin(y) / ()² sin²(x+y) = cos²ysin²x+2sinx*cosx*siny*cosy+cos²xsin²y 2sinx*cosx*siny*cosy >0 bo kąty są ostre, wiec sin²(x+y) < cos²ysin²y+cos²xsin²y z kolei cos²ysin²x+cos²xsin²y ≤ sin²x+cos²y ostatecznie sin²(x+y) < sin²x+cos²y

mat: tam w dwch osttnich linijkach na koncu zamiast cos²y ma byc sin²y

Patryk17: Mam pytanie: skąd się biorą 3 ostatnie linijki? Nie rozumiem skąd te wnioski.

frykas: Założenia: α, β ∊ (0^o, 90^o) i α + β ∊ (90^o, 180^o) Teza: sin²α + sin^β > sin²(α + β) Dowód: Przekształcam równoważnie sin²α + sin^β > sin²(α + β) ⇒ sin²α + sin²β − sin²α cos²β − sin^β cos²α > 0 ⇒ ⇒ sin²α(1 − cos²β) + sin²β(1 − cos²α) > 0 ⇒ sin²α sin²β + sin²β sin²α > 0 ⇒ ⇒ sin²α sin²β > 0, otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa i została uzyskana przez równoważne przekształcenie nierówności wyjściowej, zatem nierówność wyjściowa jest prawdziwa.

Patryk17: To nie jest równoważne przkeształcenie, poza tym tam jest użyta jedynka trygonometryczna tylko przekształcona. Czy da się bez tej jedynki? Chodzi mi o rozwiązanie frykasa. Bo dowodzę coś wynikającego z jedynki trygonometrycznej i doszedłem do takiej nierówności, dlatego nie mogę użyć jedynki trygonometrycznej żeby nie prowadzić okrężnego rozumowania.

mat: A ktorego przejscia dokladnie nie rozumiesz i czego to ci odpisze? Bo ja tam uzasadniam czemu tak mozna

mat: chociaz cos mi sie tam juz nie podoba

Patryk17: W sensie nie wiem skąd się biorą linijki 4 i 5 od góry. Ta część nie jest uzasadniona. Czy mógłbyś rozpisać skąd wnioskujesz te nierówności?. Szczególnie chodzi mi o prawą stronę nierówności w linijce wyżej i o lewą w poniższej.

Patryk17: Bo później to rozumiem wniosek z tych dwóch linijek ale zastanawiam się właśnie nad nimi, skąd je wziąłeś

Patryk17: I też mi się wydaje, że kluczowe jest wykorzystanie w którymś momencie tego założenia, że x+y>90°, bo to jest tutaj ważne

Patryk17: I też w twoim dowodzie nie zgadzają się prawa strona nierówności z 4. linijki i lewą strona z 5. linijki, a one powinny być jednakowe, jeżeli wnioskujemy to co jest w linijce ostatniej.Czy mógłbym Cię prosić, żebyś spojrzał jeszcze raz na swój dowód?

mm : Postaram się to zrobić później

Patryk17: Ok, dziękuję

mat: sin(x+y) = cos(y)sin(x)+cos(x)sin(y) /()² sin²(x+y) = cos²ysin²x+2sinx*cosx*siny*cosy+cos²xsin²y dopisze i odpisze sobie 2sin²xsin²y (po co? Przymierzam sie do wzoru cos(x+y) bo ten będzie ujemny jezeli kat rozwarty) sin²(x+y) = cos²ysin²x+2sinx*cosx*siny*cosy+cos²xsin²y − 2sin²xsin²y+2sin²xsin²y sin²(x+y) = cos²ysin²x+cos²xsin²y +2sin²xsin²y +2sinxsiny(cosxcosy−sinxsiny) sin²(x+y) = cos²ysin²x+cos²xsin²y +2sin²xsin²y +2sinxsiny*cos(x+y) cos(x+y) jest ujemny więc człon 2sinxsiny*cos(x+y) tylko zmniejsza tę wartość, zatem sin²(x+y)<cos²ysin²x+cos²xsin²y +2sin²xsin²y teraz rozpisze troche prawą strone cos²ysin²x+cos²xsin²y +2sin²xsin²y = cos²ysin²x+cos²xsin²y +sin²xsin²y +sin²xsin²y = sin²x(cos²y+sin²y)+sin²y(cos²x+sin²x) = sin²x+sin²y ostatecznie sin²(x+y) <sin²x+sin²y chyba jest ok tym razem, z tym ze skorzystalismt z jednyki

mat: a z jakiego powodu nie możesz skorzystać z jedynki? bo w czym problem?

Patryk17: Bardzo dziękuję mat za rozwiązanie, jest super. Już tłumaczę o co chodzi z tą jedynką, jestem dobry z matmy i nauczyciel dał mi zadanie żebym postarał się udowodnić to bez jedynki trygonometrycznej, bo on dowodzi coś trudniejszego, i powiedział że wynika to z jedynki trygonometrycznej dlatego nie może jej użyć w dowodzie tej nierówności. Kazał mi to zrobić dlatego bez jedynki trygonometrycznej i obiecał dobrą ocenę jak mi się uda. Rozwiązanie jest super, ale czy masz pomysł jak ominąć jedynkę trygonometryczną? Może jakoś spróbować na podstawie tego rozwiązania?

mat: rozumiem, mozna by zostawic ten dowod co jest jakby sie udalo pokazac ze dla dowolnego α cos²α+sin²α≤1 wtedy by mozna zrobic oszacowanie i by wyszlo to co chcemy

mat: przychodzi mi do glowy tylko pomysl na udowodnienie jedynki w oparciu o wlasnosci (wzor na cosinus sumy) cos²α+sin²α = cos(α)*cos(−α) − sin(α)sin(−α) = cos(α+(−α))=cos0 = 1