trojmian ziemia: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − 1 jest równa 1, zaś reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + 2 jest równa −14. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez trojmian x² + x − 2 i w rozwiazaniach mowia ze reszta dzielenia tego wielomianu bedzie funkcja liniowa ale skad to wiadomo? jak to zrobic?

niebo: P(x)=x²+x−2 =(x−1)(x+2) W(x)=P(x)*Q(x)+R(x) , R(x) −− jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego bo P(x) jest stopnia drugiego W(x)= (x−1)(x+2)*Q(x) +ax+b 1=W(1)= 0 +a*1+b ⇒ a+b=1 −14=W(−2)= 0 −2a+b ⇒ −2a+b= −14 − −−−−−−−− 3a=15 ⇒ a=5 to b= −4 R(x)= 5x−4 =========

ziemia: ale czemu wiadomo skoro mnozymy p(x) stopnia drugiego ok ale mnozmyh przez Q(x)

ziemia: no bo P(x) jest stopnia drugiego ale skad wiadomo ze r(x) jest pierwszego? Jak w(x) byloby np 4 stonia to co

wredulus_pospolitus: reszta z dzielenia ZAWSZE będzie wielomianem stopnia conajmniej o 1 niższy niż stopień wielomianu przez który dzielimy skoro Q(x) jest stopnia drugiego, to zapisujemy wielomian R(x) jako wielomian ax + b (z obliczeń później oczywiście może nam wyjść, że a = 0, jednak na etapie zapisu ogólnej postaci reszty, tego nie wiemy jeszcze)

ziemia: Q(x) Jest stopnia drugiego czy P(x)?

ziemia: no ale jak P(x) jest st 2 to przecieez jak w(x) bedzie np czwartego to reszta bedzie kwadratowa a nie liniowa

wredulus_pospolitus: oczywiście, chodziło mi o P(x). 09:04 −−− nieee ... spróbuję to w ten sposób wyjaśnić: jeżeli dzielisz liczby całkowite przez siebie ... jaka może być reszta? Jak masz 3021 : 30 to reszta z tego dzielenia nie będzie przecież 51 czy też 81, tylko 21 (liczba mniejsza od 30). Analogicznie przy dzieleniu wielomianów przez siebie możemy mówić o ich stopniu. Wielomian możemy dzielić tak długo, aż to co pozostało nam do dzielenia jest stopnia co najmniej takiego jak wielomian przez który dzielimy.

	x5+2x4+3x3+4x2 + x + 7
Na przykład:		=
	x2+x+1

	x3(x2+x+1) + x4 + 2x3 + 3x2 + x + 7
=		=
	x2+x+1

	x3(x2+x+1) + x2(x2+x+1) + x3 + 2x2 + x + 7
=		=
	x2+x+1

	x3(x2+x+1) + x2(x2+x+1) + x(x2+x+1) + x2 + x + 7
=		=
	x2+x+1

	x3(x2+x+1) + x2(x2+x+1) + x(x2+x+1) + 1(x2 + x + 1) + 6
=		=
	x2+x+1

	6
= (x3 + x2 + x + 1)(x2+x+1) +		−−−> R(x) = 6
	x2+x+1

Nie możesz podzielić wielomianu przez wielomian, który jest wyższego stopnia, dlatego to co zostanie, zostaje resztą z dzielenia. Tak jak przy liczbach całkowitych, gdy zostaje nam do podzielenia liczba mniejsza od dzielnika, to jest to nasza reszta.

ziemia: to reszta z dzielenia zawsze jest liniowa?

wredulus_pospolitus: nieee

x5 + x2 + 1		x2+1
	= x2 +
x3		x3

reszta z dzielenia jest wielomianem O MINIMUM 1 STOPIEŃ NIŻSZYM niż wielomian przez który dzielimy

ziemia: aaa