Kryterium porównawcze szeregów Lucius: Nie wiem, w jaki sposob sprawdzic poprzez b{kryterium porównawcze} takie szeregi Prosilbym o pomoc, z wytlumaczeniem, co wynika, z czego. Samo rozwiązanie chyba nie pomoże mi tego zrozumieć... Wszedzie suma od 1 do ∞

	n3+1
a) ∑ √ln		(wszystko jest pod pierwiastkiem)
	n3

b) ∑ ¹_n*√sin(¹_n)

	e1n
c) ∑
	n

d) ∑ tg²(¹_n)

	1
Tutaj oszacowalem z prawej strony przez		, ale nie jestem pewny, co z
	cos2(1n)

tego wynika. Tu tez prosilbym o wytlumaczenie.

. : To oszacowanie nic Ci nie daje bo ograniczysz z góry szeregiem rozbieżnym

Lucius: Niedobrze A gdybym oszacowal, ze szereg z przykladu c jest >= ¹_n i wtedy wyjdzie jego rozbieżność

. : A na jakiej podstawie to oszacowanie

Lucius: e^1/n>=1

Lucius: Jesli dobrze myślę

. : Ach... Mówisz o podpunkcie (c)... Tak

Lucius: Tak

Lucius: Ktos zasugerowałby cos wiecej?

. : (d) sin²(1/n) < (1/n)² Cos²(1/n) > 1/4 ( Zauważ że cos²(1/1) > cos²(π/3) = (1/2)²)

	sin2(1/n)		4
Tg2(1/n) <		= 4sin2(1/n) <		wniosek
	1/4		n2

. :

	n3+1		n3*ln(....)		ln(...)n3
(a) ln(		= ln(1 + 1/n3) =		=		<
	n3		n3		n3

	ln e
<
	n3

I działasz dalej

. :

	√sin(1/n)		√sin(1/n		1
1/n * √sin(1/n) =		=		*		<
	n		√1/n		√n*n

	1
< 1 *
	n3/2

jc: Można też skorzystać z nierówności ln (1+x) ≤ x.

	n3+1		1
ln		≤
	n3		n3

...

Lucius: Po pierwsze, bardzo dziekuje za wszystkie rozwiazania. W (d) i (a) szeregi beda zbiezne, bo sa ograniczine przez 1/n² i 1/n³

	sin(1/n)
Nie rozumiem (b)... Skad wyniklo, ze √		jest ograniczone przez 1? Ma to
	1/n

zwiazek z granica z sinx/x−>0

Lucius: −>1 poprawka

Lucius: I jak wy podchodzicie do rozwiazywania tych szeregow? Czy to kwestia intuicji po wielu przerobionych przykladach, czy moze jest jakas metoda, ktora to zadanie ulatwia?

. : Dokładnie z tej zacząłem swój tok myślenia

. : Tylko istotne jest ze sin(x) < x dla x>0

	sin(1/n)
Stad wiemy że		< 1
	1/n

Natomiasy wszystko w główce mi się narodziło od tejże właśnie granicy

Lucius: Rozumiem. Dziekuje wielce.

Lucius: A z tym "e" nic nie przychodzi na mysl?

jc: e^1/n > 1

. : Przecież (c) sam zrobiłeś, więc je pominąłem.

Lucius: Nie bylem pewny, czy poprawnie

wredulus_pospolitus: a co do Twojego pytania z 12:27 ... niestety, ja osobiście robię 'na czuja' czyli patrzę co mamy w przykładzie i oceniam czy to raczej będzie zbieżne czy rozbieżne ... następnie działam odpowiednio.

	a
W przypadku kryterium porównawczego przeważnie szacujemy szeregiem		więc szukam
	nα

sposobu aby właśnie w ten sposób oszacować. Tak jak to czyniłem w tych przykładach.